Câu hỏi:
Một cái trống trường có bán kính các đáy là
, thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy có diện tích là
, chiều dài của trống là
Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh của trống là các đường parabol. Gọi
thể tích của cái trống. Giá trị
(đơn vị: decimét khối, làm tròn kết quả đến hàng đơn vị) bằng bao nhiêu?
Trả lời:
Đáp án đúng:
Gọi $S$ là diện tích thiết diện khi cắt trống bởi mặt phẳng vuông góc với trục và cách đều hai đáy.
Ta có $S = \pi r^2 = 4\pi \,\text{dm}^2$, suy ra $r = 2 \,\text{dm}$.
Thể tích trống là $V = \int_{-h}^{h} \pi (R^2 + a - a\frac{x^2}{h^2}) dx = \pi \int_{-h}^{h} (R^2 + a - a\frac{x^2}{h^2}) dx $,
trong đó $a = r - R = 2 - R$. $V = \pi [ (R^2 + a)x - \frac{ax^3}{3h^2} ]_{-h}^{h} = \pi [ (R^2 + a)2h - \frac{2ah^3}{3h^2} ] = 2\pi h(R^2 + a - \frac{a}{3}) = 2\pi h(R^2 + \frac{2a}{3}) = 2\pi h (R^2 + \frac{2(2-R)}{3})$
Suy ra $\dfrac{V}{\pi R^2 h} = \dfrac{2(R^2 + \frac{4}{3} - \frac{2R}{3})}{R^2} = 2 + \dfrac{8}{3R^2} - \dfrac{4}{3R}$.
Xét hàm $f(R) = 2 + \dfrac{8}{3R^2} - \dfrac{4}{3R}$ với $R=4$. $\dfrac{V}{\pi R^2 h} = f(4) = 2 + \dfrac{8}{3 \cdot 4^2} - \dfrac{4}{3 \cdot 4} = 2 + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{3} = 2 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{11}{6} \approx 1.83$.
Vậy giá trị cần tìm là 2.
Thể tích trống là $V = \int_{-h}^{h} \pi (R^2 + a - a\frac{x^2}{h^2}) dx = \pi \int_{-h}^{h} (R^2 + a - a\frac{x^2}{h^2}) dx $,
trong đó $a = r - R = 2 - R$. $V = \pi [ (R^2 + a)x - \frac{ax^3}{3h^2} ]_{-h}^{h} = \pi [ (R^2 + a)2h - \frac{2ah^3}{3h^2} ] = 2\pi h(R^2 + a - \frac{a}{3}) = 2\pi h(R^2 + \frac{2a}{3}) = 2\pi h (R^2 + \frac{2(2-R)}{3})$
Suy ra $\dfrac{V}{\pi R^2 h} = \dfrac{2(R^2 + \frac{4}{3} - \frac{2R}{3})}{R^2} = 2 + \dfrac{8}{3R^2} - \dfrac{4}{3R}$.
Xét hàm $f(R) = 2 + \dfrac{8}{3R^2} - \dfrac{4}{3R}$ với $R=4$. $\dfrac{V}{\pi R^2 h} = f(4) = 2 + \dfrac{8}{3 \cdot 4^2} - \dfrac{4}{3 \cdot 4} = 2 + \dfrac{1}{6} - \dfrac{1}{3} = 2 - \dfrac{1}{6} = \dfrac{11}{6} \approx 1.83$.
Vậy giá trị cần tìm là 2.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
10/09/2025
0 lượt thi
0 / 22
Câu hỏi liên quan

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT

Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
