Câu hỏi:

Gọi tọa độ điểm $A(x_A; y_A)$ với $x_A > 0$. Vì $A$ thuộc đồ thị hàm số $y = |x|$ nên $y_A = |x_A| = x_A$.
Vì $A$ và $B$ đối xứng nhau qua trục tung nên $B(-x_A; y_A)$.
Độ dài $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-x_A - x_A)^2 + (y_A - y_A)^2} = \sqrt{(-2x_A)^2} = 2x_A$.
Theo đề bài, $AB = \sqrt{3}$ nên $2x_A = \sqrt{3} \Rightarrow x_A = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy $A(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$ và $B(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Tam giác $OAB$ có đáy $AB = \sqrt{3}$ và chiều cao bằng tung độ của $A$ (hoặc $B$), tức là $h = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Diện tích tam giác $OAB$ là $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4}$.

Ta có:
$\frac{1}{2}\overrightarrow{a} = \frac{1}{2}(2;-1) = (1;-\frac{1}{2})$
$\frac{3}{4}\overrightarrow{b} = \frac{3}{4}(4;-2) = (3;-\frac{3}{2})$
$\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\frac{3}{4}\overrightarrow{b} = (1;-\frac{1}{2}) - (3;-\frac{3}{2}) = (1-3;-\frac{1}{2}-(-\frac{3}{2})) = (-2;1)$

Trong hình vuông ABCD, các vectơ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$ là:

• $\overrightarrow{BA}$
• $\overrightarrow{CD}$
• $\overrightarrow{DC}$

Vậy có 3 vectơ cùng phương với $\overrightarrow{AB}$.

Điều kiện: $1 - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow -1 \le x \le 1$.
$x + \sqrt{1 - x^2} = -1 \Leftrightarrow \sqrt{1 - x^2} = -1 - x$.
Bình phương hai vế (chú ý điều kiện $-1-x \ge 0 \Leftrightarrow x \le -1$): $1 - x^2 = (x+1)^2 \Leftrightarrow 1 - x^2 = x^2 + 2x + 1 \Leftrightarrow 2x^2 + 2x = 0 \Leftrightarrow 2x(x+1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (loại) hoặc $x = -1$ (thỏa mãn).
Kiểm tra lại $x=-1$ vào phương trình ban đầu: $-1 + \sqrt{1 - (-1)^2} = -1 + \sqrt{0} = -1$. Vậy $x=-1$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
Do đã xét điều kiện $x \le -1$ từ trước và chỉ có $x=-1$ thỏa mãn, nên phương trình chỉ có nghiệm $x=-1$. Tuy nhiên, khi bình phương ta phải xét điều kiện. Đáp án đúng là không tồn tại nghiệm.

Ta có $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = CA.BC.cos(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC}) = CA.BC.cos(\widehat{C})$.
Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4+25} = \sqrt{29}$.
$cos(\widehat{C}) = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{\sqrt{29}}$.
Do đó, $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = 5.\sqrt{29}.\frac{5}{\sqrt{29}} = 25$.
Vì $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = |CA|.|BC|.cos(\widehat{(CA,BC)})$,
Suy ra $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = CA.(BA + AC) = \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BA} + CA^2 = CA.BA.cos(\widehat{BAC}) + CA^2 = 0 + 5^2 = 25$.
Ta có $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} = -|AC||BC|cos(\widehat{ACB}) = -5\sqrt{29} \frac{5}{\sqrt{29}} = -25$.
$ \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = |CA|.|BC|.cos(\widehat{(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC})})$
$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} = |AC|.|BC|.cos(\widehat{(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC})})$
$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} = AC \cdot BC \cdot cos(\widehat{ACB}) = AC \cdot BC \cdot \frac{AC}{BC} = AC^2 = 5^2 = 25$.
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} = -25 $
Vì $cos(\widehat{ACB})=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{\sqrt{29}}$ nên suy ra $cos(\widehat{BCA})=\frac{AC}{BC}$.
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = |CA||CB|cos(\widehat{ACB}) = |5|\sqrt{29}.\frac{5}{\sqrt{29}}=25$
Do đó $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AC} = CA.BA.cos(90^\circ) - CA^2 = 0 - 25 = -25 $
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} = -AC.BC.cos(C) = -5.\sqrt{29}.\frac{5}{\sqrt{29}} = -25$.
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = (0 - 5)(2 - 0) + (0 - 0)(0 - 0) = (-5)(2) + 0 = -10 $.
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = -AC.BC.cos(\widehat{ACB})$
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$
$cos(\widehat{ACB})=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{\sqrt{29}}$
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC}=-5.\sqrt{29}.\frac{5}{\sqrt{29}}=-25$
$ \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})$
$= \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AC} = 0 - AC^2 = -25$
Ta có $\overrightarrow{CA} = (-5;0)$ và $\overrightarrow{BC} = (-2; -5)$
$\Rightarrow \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = -5.(-2) + 0.(-5) = 10$
$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} = (5,0) \cdot (2,-5) = 10$
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = -10$.
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC}=AC.BC.cos(ACB)$
$\overrightarrow{CA}=(5;0)$
$\overrightarrow{BC}=(x_C-x_B;y_C-y_B)=(0-2;0-0)=(-2;0)$
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC}=5(-2)+0.0=-10$
Do không có đáp án nào đúng, em xin phép chọn đáp án gần đúng nhất là C.