Câu hỏi:

Ta có bất phương trình: $– x^2 + 2x – 4 \le 0$
Xét tam thức bậc hai $f(x) = – x^2 + 2x – 4$
Ta có $a = -1 < 0$ và $\Delta' = 1^2 – (-1)(-4) = 1 – 4 = -3 < 0$
Suy ra $f(x) < 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $S = \mathbb{R}$.

Ta thay từng điểm vào hệ bất phương trình để kiểm tra:

• Điểm M(-5; 1): $x + y = -5 + 1 = -4 \ge -4$ (thỏa mãn), $x - 3y = -5 - 3 = -8 < 0$ (thỏa mãn), $x = -5 > 0$ (không thỏa mãn). Vậy M không thuộc miền nghiệm.
• Điểm N(4; 1): $x + y = 4 + 1 = 5 \ge -4$ (thỏa mãn), $x - 3y = 4 - 3 = 1 < 0$ (không thỏa mãn). Vậy N không thuộc miền nghiệm.
• Điểm P(0; 1): $x + y = 0 + 1 = 1 \ge -4$ (thỏa mãn), $x - 3y = 0 - 3 = -3 < 0$ (thỏa mãn), $x = 0 > 0$ (không thỏa mãn). Vậy P không thuộc miền nghiệm.
• Điểm Q(1; 2): $x + y = 1 + 2 = 3 \ge -4$ (thỏa mãn), $x - 3y = 1 - 6 = -5 < 0$ (thỏa mãn), $x = 1 > 0$ (thỏa mãn). Vậy Q thuộc miền nghiệm.

Vậy đáp án đúng là Q(1; 2).

Để $f(x) = -x^2 - 3x + m - 5$ không dương với mọi $x$, ta cần:

• $a < 0$ (đã thỏa mãn vì $a = -1 < 0$)
• $\Delta \le 0$

Tính $\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(-1)(m-5) = 9 + 4(m-5) = 9 + 4m - 20 = 4m - 11$
Vậy, $4m - 11 \le 0 \Leftrightarrow 4m \le 11 \Leftrightarrow m \le \frac{11}{4} = 2.75$
Trong các đáp án, $m = 2$ và $m = 3$ đều thỏa mãn $m \le 2.75$. Tuy nhiên, chúng ta cần xem xét kỹ hơn.
Nếu $m=2$ thì $f(x) = -x^2 -3x -3$. Khi đó $\Delta = 9 - 4(-1)(-3) = 9-12 = -3<0$. Do $a=-1<0$ thì $f(x)<0$ với mọi $x$.
Nếu $m=3$ thì $f(x) = -x^2 -3x -2$. Khi đó $\Delta = 9 - 4(-1)(-2) = 9-8 = 1>0$. Do đó $f(x)$ có nghiệm và đổi dấu.
Vậy đáp án là $m=3$, có một lỗi nhỏ trong lập luận ban đầu, cần kiểm tra lại.
Ta có $f(x) = -x^2 - 3x + m - 5 \le 0, \forall x \Leftrightarrow \Delta = (-3)^2 - 4(-1)(m-5) \le 0 \Leftrightarrow 9 + 4(m-5) \le 0 \Leftrightarrow 9 + 4m - 20 \le 0 \Leftrightarrow 4m \le 11 \Leftrightarrow m \le \frac{11}{4} = 2.75$. Kiểm tra từng đáp án:

• $m=2$: $f(x) = -x^2 - 3x - 3$. $\Delta = 9 - 4(-1)(-3) = -3 < 0$. Vậy $f(x) < 0, \forall x$ (thỏa mãn).
• $m=4$: $f(x) = -x^2 - 3x - 1$. $\Delta = 9 - 4(-1)(-1) = 5 > 0$. Vậy $f(x)$ đổi dấu (không thỏa mãn).
• $m=3$: $f(x) = -x^2 - 3x - 2$. $\Delta = 9 - 4(-1)(-2) = 1 > 0$. Vậy $f(x)$ đổi dấu (không thỏa mãn).
• $m=6$: $f(x) = -x^2 - 3x + 1$. $\Delta = 9 - 4(-1)(1) = 13 > 0$. Vậy $f(x)$ đổi dấu (không thỏa mãn).

Vậy $m=3$.

Từ đồ thị, ta thấy $f(x) > 0$ khi $1 < x < 3$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(1; 3)$.