Câu hỏi:

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: $x^2-(2m-1)x-m^2+5m-1 \ge 0$ và $x + 1 \ge 0$. Ta có phương trình: $\sqrt{x^2-(2m-1)x-m^2+5m-1} = x+1$ $\Leftrightarrow x^2-(2m-1)x-m^2+5m-1 = (x+1)^2$ $\Leftrightarrow x^2-(2m-1)x-m^2+5m-1 = x^2+2x+1$ $\Leftrightarrow -(2m-1)x - m^2+5m-1 = 2x+1$ $\Leftrightarrow (-2m+1-2)x = m^2 - 5m + 2$ $\Leftrightarrow (-2m-1)x = m^2 - 5m + 2$ $\Leftrightarrow x = \frac{m^2-5m+2}{-2m-1}$
Điều kiện $x \ge -1$: $\frac{m^2-5m+2}{-2m-1} \ge -1$ $\frac{m^2-5m+2}{-2m-1} + 1 \ge 0$ $\frac{m^2-5m+2 -2m-1}{-2m-1} \ge 0$ $\frac{m^2-7m+1}{-2m-1} \ge 0$ $\frac{m^2-7m+1}{2m+1} \le 0$
Xét $m^2-7m+1 = 0$, ta có $m = \frac{7 \pm \sqrt{49-4}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$. Vậy $m_1 = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} \approx 0.146$ và $m_2 = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} \approx 6.854$.
Xét $2m+1 = 0$, ta có $m = -\frac{1}{2} = -0.5$.
Bảng xét dấu: | m | -$\infty$ | -0.5 | $\frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$ | $\frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$ | +$\infty$ | | ----------------- | ------------- | ---- | ---------------------------- | ---------------------------- | ------------- | | $m^2-7m+1$ | + | + | 0 | 0 | + | | $2m+1$ | - | 0 | + | + | + | | $\frac{m^2-7m+1}{2m+1}$ | - | | - | + | + |
Ta cần $x = \frac{m^2-5m+2}{-2m-1}$ là nghiệm duy nhất. Điều này xảy ra khi $x = -1$ là nghiệm kép hoặc nghiệm duy nhất. Nếu $m = -1$, thì $-2m-1 = 2 - 1 = 1 \ne 0$. Khi đó $x = \frac{1 + 5 + 2}{1} = 8$. Kiểm tra lại vào phương trình ban đầu thì thấy không thỏa mãn.
Vậy không có giá trị $m$ nào thỏa mãn.