Câu hỏi:

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AO} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$.
Do đó, $3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ hay $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AD}$.
Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}) = \frac{1}{2}(2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$.
Suy ra, $2\overrightarrow{AM} = 2(3\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AD}) + \overrightarrow{AD} = 6\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AD}$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AD} = 6\overrightarrow{AG} - 2\overrightarrow{AM}$
Mặt khác, ta có $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MG}$ và $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \Leftrightarrow 3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$
$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AD}$
Mà $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BM}$ nên $\overrightarrow{AD} = 2( \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB} ) = 2( \overrightarrow{AM} - 3\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{AD}) \Leftrightarrow -\overrightarrow{AD} = 2 \overrightarrow{AM} - 6 \overrightarrow{AG}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AD} = 6\overrightarrow{AG} - 2\overrightarrow{AM}$.
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên G thuộc AM và $AG = \frac{2}{3}AM \Rightarrow \overrightarrow{AM} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AG}$.
Do đó, $\overrightarrow{AD} = 6\overrightarrow{AG} - 2 \cdot \frac{3}{2} \overrightarrow{AG} = 3 \overrightarrow{AG}$.
Vậy $k=3$.

Phép toán $A \ B$ (hiệu của A và B) là tập hợp các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B.
Trong trường hợp này:

• $A = \{-3, -1, 1, 2, 4, 5\}$
• $B = \{-2, -1, 0, 2, 3, 5\}$

Các phần tử của A không thuộc B là: -3, 1, 4.
Vậy $A \ B = \{-3, 1, 4\}$

Ta có tập hợp $A = \{x \in \mathbb{Z} | -2 \le x < 0\}$ là tập hợp các số nguyên $x$ thỏa mãn $-2 \le x < 0$.
Các số nguyên thỏa mãn điều kiện này là $-2$ và $-1$.
Vậy, $A = \{-2, -1\}$

Đồ thị của hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng.
Ví dụ: $y = x^2$ là hàm chẵn và đồ thị của nó nhận trục tung làm trục đối xứng.

Gọi tọa độ điểm $A(x_A; y_A)$ với $x_A > 0$. Vì $A$ thuộc đồ thị hàm số $y = |x|$ nên $y_A = |x_A| = x_A$.
Vì $A$ và $B$ đối xứng nhau qua trục tung nên $B(-x_A; y_A)$.
Độ dài $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(-x_A - x_A)^2 + (y_A - y_A)^2} = \sqrt{(-2x_A)^2} = 2x_A$.
Theo đề bài, $AB = \sqrt{3}$ nên $2x_A = \sqrt{3} \Rightarrow x_A = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy $A(\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$ và $B(-\frac{\sqrt{3}}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2})$.
Tam giác $OAB$ có đáy $AB = \sqrt{3}$ và chiều cao bằng tung độ của $A$ (hoặc $B$), tức là $h = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Diện tích tam giác $OAB$ là $S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{4}$.