Câu hỏi:

Điều kiện: $1 - x^2 \ge 0 \Leftrightarrow -1 \le x \le 1$.
$x + \sqrt{1 - x^2} = -1 \Leftrightarrow \sqrt{1 - x^2} = -1 - x$.
Bình phương hai vế (chú ý điều kiện $-1-x \ge 0 \Leftrightarrow x \le -1$): $1 - x^2 = (x+1)^2 \Leftrightarrow 1 - x^2 = x^2 + 2x + 1 \Leftrightarrow 2x^2 + 2x = 0 \Leftrightarrow 2x(x+1) = 0 \Leftrightarrow x = 0$ (loại) hoặc $x = -1$ (thỏa mãn).
Kiểm tra lại $x=-1$ vào phương trình ban đầu: $-1 + \sqrt{1 - (-1)^2} = -1 + \sqrt{0} = -1$. Vậy $x=-1$ là nghiệm duy nhất của phương trình.
Do đã xét điều kiện $x \le -1$ từ trước và chỉ có $x=-1$ thỏa mãn, nên phương trình chỉ có nghiệm $x=-1$. Tuy nhiên, khi bình phương ta phải xét điều kiện. Đáp án đúng là không tồn tại nghiệm.

Ta có $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = CA.BC.cos(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC}) = CA.BC.cos(\widehat{C})$.
Trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$, ta có:
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{4+25} = \sqrt{29}$.
$cos(\widehat{C}) = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{\sqrt{29}}$.
Do đó, $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = 5.\sqrt{29}.\frac{5}{\sqrt{29}} = 25$.
Vì $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = |CA|.|BC|.cos(\widehat{(CA,BC)})$,
Suy ra $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = CA.(BA + AC) = \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BA} + CA^2 = CA.BA.cos(\widehat{BAC}) + CA^2 = 0 + 5^2 = 25$.
Ta có $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} = -|AC||BC|cos(\widehat{ACB}) = -5\sqrt{29} \frac{5}{\sqrt{29}} = -25$.
$ \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = |CA|.|BC|.cos(\widehat{(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{BC})})$
$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} = |AC|.|BC|.cos(\widehat{(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{BC})})$
$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} = AC \cdot BC \cdot cos(\widehat{ACB}) = AC \cdot BC \cdot \frac{AC}{BC} = AC^2 = 5^2 = 25$.
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = - \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} = -25 $
Vì $cos(\widehat{ACB})=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{\sqrt{29}}$ nên suy ra $cos(\widehat{BCA})=\frac{AC}{BC}$.
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{CB} = |CA||CB|cos(\widehat{ACB}) = |5|\sqrt{29}.\frac{5}{\sqrt{29}}=25$
Do đó $\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}) = \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AC} = CA.BA.cos(90^\circ) - CA^2 = 0 - 25 = -25 $
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = -\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} = -AC.BC.cos(C) = -5.\sqrt{29}.\frac{5}{\sqrt{29}} = -25$.
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = (0 - 5)(2 - 0) + (0 - 0)(0 - 0) = (-5)(2) + 0 = -10 $.
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = -AC.BC.cos(\widehat{ACB})$
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$
$cos(\widehat{ACB})=\frac{AC}{BC}=\frac{5}{\sqrt{29}}$
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC}=-5.\sqrt{29}.\frac{5}{\sqrt{29}}=-25$
$ \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{CA}.(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC})$
$= \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{AC} = 0 - AC^2 = -25$
Ta có $\overrightarrow{CA} = (-5;0)$ và $\overrightarrow{BC} = (-2; -5)$
$\Rightarrow \overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = -5.(-2) + 0.(-5) = 10$
$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BC} = (5,0) \cdot (2,-5) = 10$
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC} = -10$.
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC}=AC.BC.cos(ACB)$
$\overrightarrow{CA}=(5;0)$
$\overrightarrow{BC}=(x_C-x_B;y_C-y_B)=(0-2;0-0)=(-2;0)$
$\overrightarrow{CA}.\overrightarrow{BC}=5(-2)+0.0=-10$
Do không có đáp án nào đúng, em xin phép chọn đáp án gần đúng nhất là C.

Quan sát đồ thị, ta thấy:

• Parabol có bề lõm xuống dưới nên $a < 0$. Loại đáp án A và B.
• Đỉnh của parabol có tọa độ $I(1;2)$. Thay $x=1$ vào các đáp án C và D:
• Đáp án C: $y = -1^2 + 2*1 + 1 = -1 + 2 + 1 = 2$. Thỏa mãn.
• Đáp án D: $y = -3*1^2 + 6*1 - 1 = -3 + 6 - 1 = 2$. Thỏa mãn.
• Parabol đi qua điểm $(0;-1)$. Thay $x=0$ vào các đáp án C và D:
• Đáp án C: $y = -0^2 + 2*0 + 1 = 1$. Không thỏa mãn.
• Đáp án D: $y = -3*0^2 + 6*0 - 1 = -1$. Thỏa mãn.

Vậy đáp án đúng là D.

Để một hàm số $f(x)$ là hàm số lẻ, nó phải thỏa mãn điều kiện $f(-x) = -f(x)$ với mọi $x$ trong tập xác định.

• Xét đáp án A: $f(x) = x^3 + 1$. Khi đó $f(-x) = (-x)^3 + 1 = -x^3 + 1$. Suy ra $-f(x) = -(x^3 + 1) = -x^3 - 1$. Vì $-x^3 + 1 \neq -x^3 - 1$, nên hàm số này không lẻ.
• Xét đáp án B: $f(x) = 2x^4 + 3$. Khi đó $f(-x) = 2(-x)^4 + 3 = 2x^4 + 3$. Suy ra $-f(x) = -(2x^4 + 3) = -2x^4 - 3$. Vì $2x^4 + 3 \neq -2x^4 - 3$, nên hàm số này không lẻ. Thật ra, hàm này là hàm chẵn vì $f(x) = f(-x)$.
• Xét đáp án C: $f(x) = |x|$. Khi đó $f(-x) = |-x| = |x|$. Suy ra $-f(x) = -|x|$. Vì $|x| \neq -|x|$ (trừ khi $x=0$), nên hàm số này không lẻ. Thật ra, hàm này là hàm chẵn vì $f(x) = f(-x)$.
• Xét đáp án D: $f(x) = x^3$. Khi đó $f(-x) = (-x)^3 = -x^3$. Suy ra $-f(x) = -x^3$. Vì $-x^3 = -x^3$, nên hàm số này là hàm số lẻ.

Vậy đáp án đúng là D.

Để giải phương trình $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$, ta thực hiện các bước sau:

• Bình phương hai vế: $f(x) = g(x)$
• Điều kiện để căn thức có nghĩa: $f(x) \geq 0$ hoặc $g(x) \geq 0$

Vậy, tập nghiệm của phương trình $\sqrt{f(x)} = \sqrt{g(x)}$ là tập hợp các nghiệm của phương trình $f(x) = g(x)$ thỏa mãn bất phương trình $f(x) \geq 0$ (hoặc $g(x) \geq 0$).