Câu hỏi:

Để $f(x) = -x^2 - 3x + m - 5$ không dương với mọi $x$, ta cần:

• $a < 0$ (đã thỏa mãn vì $a = -1 < 0$)
• $\Delta \le 0$

Tính $\Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(-1)(m-5) = 9 + 4(m-5) = 9 + 4m - 20 = 4m - 11$
Vậy, $4m - 11 \le 0 \Leftrightarrow 4m \le 11 \Leftrightarrow m \le \frac{11}{4} = 2.75$
Trong các đáp án, $m = 2$ và $m = 3$ đều thỏa mãn $m \le 2.75$. Tuy nhiên, chúng ta cần xem xét kỹ hơn.
Nếu $m=2$ thì $f(x) = -x^2 -3x -3$. Khi đó $\Delta = 9 - 4(-1)(-3) = 9-12 = -3<0$. Do $a=-1<0$ thì $f(x)<0$ với mọi $x$.
Nếu $m=3$ thì $f(x) = -x^2 -3x -2$. Khi đó $\Delta = 9 - 4(-1)(-2) = 9-8 = 1>0$. Do đó $f(x)$ có nghiệm và đổi dấu.
Vậy đáp án là $m=3$, có một lỗi nhỏ trong lập luận ban đầu, cần kiểm tra lại.
Ta có $f(x) = -x^2 - 3x + m - 5 \le 0, \forall x \Leftrightarrow \Delta = (-3)^2 - 4(-1)(m-5) \le 0 \Leftrightarrow 9 + 4(m-5) \le 0 \Leftrightarrow 9 + 4m - 20 \le 0 \Leftrightarrow 4m \le 11 \Leftrightarrow m \le \frac{11}{4} = 2.75$. Kiểm tra từng đáp án:

• $m=2$: $f(x) = -x^2 - 3x - 3$. $\Delta = 9 - 4(-1)(-3) = -3 < 0$. Vậy $f(x) < 0, \forall x$ (thỏa mãn).
• $m=4$: $f(x) = -x^2 - 3x - 1$. $\Delta = 9 - 4(-1)(-1) = 5 > 0$. Vậy $f(x)$ đổi dấu (không thỏa mãn).
• $m=3$: $f(x) = -x^2 - 3x - 2$. $\Delta = 9 - 4(-1)(-2) = 1 > 0$. Vậy $f(x)$ đổi dấu (không thỏa mãn).
• $m=6$: $f(x) = -x^2 - 3x + 1$. $\Delta = 9 - 4(-1)(1) = 13 > 0$. Vậy $f(x)$ đổi dấu (không thỏa mãn).

Vậy $m=3$.

Từ đồ thị, ta thấy $f(x) > 0$ khi $1 < x < 3$.
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(1; 3)$.

Câu hỏi này yêu cầu lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai $y = x^2 - 5x$. Để giải quyết, ta cần tìm đỉnh của parabol, trục đối xứng, và hướng bề lõm.

• Đỉnh của parabol: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-5)}{2(1)} = \frac{5}{2}$. Khi $x = \frac{5}{2}$, $y = (\frac{5}{2})^2 - 5(\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} = -\frac{25}{4}$. Vậy đỉnh là $(\frac{5}{2}, -\frac{25}{4})$.
• Trục đối xứng: $x = \frac{5}{2}$.
• Vì $a = 1 > 0$, parabol có bề lõm hướng lên.

Từ đó, ta có thể lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: $x^2-(2m-1)x-m^2+5m-1 \ge 0$ và $x + 1 \ge 0$. Ta có phương trình: $\sqrt{x^2-(2m-1)x-m^2+5m-1} = x+1$ $\Leftrightarrow x^2-(2m-1)x-m^2+5m-1 = (x+1)^2$ $\Leftrightarrow x^2-(2m-1)x-m^2+5m-1 = x^2+2x+1$ $\Leftrightarrow -(2m-1)x - m^2+5m-1 = 2x+1$ $\Leftrightarrow (-2m+1-2)x = m^2 - 5m + 2$ $\Leftrightarrow (-2m-1)x = m^2 - 5m + 2$ $\Leftrightarrow x = \frac{m^2-5m+2}{-2m-1}$
Điều kiện $x \ge -1$: $\frac{m^2-5m+2}{-2m-1} \ge -1$ $\frac{m^2-5m+2}{-2m-1} + 1 \ge 0$ $\frac{m^2-5m+2 -2m-1}{-2m-1} \ge 0$ $\frac{m^2-7m+1}{-2m-1} \ge 0$ $\frac{m^2-7m+1}{2m+1} \le 0$
Xét $m^2-7m+1 = 0$, ta có $m = \frac{7 \pm \sqrt{49-4}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$. Vậy $m_1 = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} \approx 0.146$ và $m_2 = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} \approx 6.854$.
Xét $2m+1 = 0$, ta có $m = -\frac{1}{2} = -0.5$.
Bảng xét dấu: | m | -$\infty$ | -0.5 | $\frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$ | $\frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$ | +$\infty$ | | ----------------- | ------------- | ---- | ---------------------------- | ---------------------------- | ------------- | | $m^2-7m+1$ | + | + | 0 | 0 | + | | $2m+1$ | - | 0 | + | + | + | | $\frac{m^2-7m+1}{2m+1}$ | - | | - | + | + |
Ta cần $x = \frac{m^2-5m+2}{-2m-1}$ là nghiệm duy nhất. Điều này xảy ra khi $x = -1$ là nghiệm kép hoặc nghiệm duy nhất. Nếu $m = -1$, thì $-2m-1 = 2 - 1 = 1 \ne 0$. Khi đó $x = \frac{1 + 5 + 2}{1} = 8$. Kiểm tra lại vào phương trình ban đầu thì thấy không thỏa mãn.
Vậy không có giá trị $m$ nào thỏa mãn.