Câu hỏi:

Trong hình bình hành ABCD, ta có:
$\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$
$\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$
Do đó, $\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD} = (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) + (\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}) = 2\overrightarrow{AD}$

Ta có $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{BC}$.
Trong tam giác vuông $ABC$, ta có:
$\tan(\widehat{ABC}) = \frac{AC}{AB}$
$AC = AB \cdot \tan(\widehat{ABC}) = 2 \cdot \tan(72^{\circ}) \approx 6.155$
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{2^2 + (2\tan(72))^2} = \sqrt{4 + 4 \tan^2(72^{\circ})} \approx \sqrt{4 + (6.155)^2} \approx \sqrt{4 + 37.88} = \sqrt{41.88} \approx 6.47$
Vậy độ dài của vectơ $\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AC}$ gần với 6,5 nhất.

Mệnh đề phủ định của $\exists$ là $\forall$ và mệnh đề phủ định của $< 0$ là $\geq 0$.
Vậy mệnh đề phủ định của “$\exists x \in \mathbb{R}, x^3 – 2x + 1 < 0$” là “$\forall x \in \mathbb{R}, x^3 – 2x + 1 \geq 0$”.

Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{x}$ và $\overrightarrow{y}$ được định nghĩa là: $\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y} = |\overrightarrow{x}|.|\overrightarrow{y}|.cos(\overrightarrow{x},\overrightarrow{y})$.

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AO} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$.
Do đó, $3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ hay $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AD}$.
Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC}) = \frac{1}{2}(2\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD})$.
Suy ra, $2\overrightarrow{AM} = 2(3\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AD}) + \overrightarrow{AD} = 6\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AD}$.
$\Rightarrow \overrightarrow{AD} = 6\overrightarrow{AG} - 2\overrightarrow{AM}$
Mặt khác, ta có $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AM} + \overrightarrow{MG}$ và $\overrightarrow{AG} = \frac{2}{3}(\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}) \Leftrightarrow 3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$
$\Leftrightarrow 3\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$ nên $\overrightarrow{AB} = 3\overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AD}$
Mà $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = 2\overrightarrow{BM}$ nên $\overrightarrow{AD} = 2( \overrightarrow{AM} - \overrightarrow{AB} ) = 2( \overrightarrow{AM} - 3\overrightarrow{AG} + \overrightarrow{AD}) \Leftrightarrow -\overrightarrow{AD} = 2 \overrightarrow{AM} - 6 \overrightarrow{AG}$
$\Rightarrow \overrightarrow{AD} = 6\overrightarrow{AG} - 2\overrightarrow{AM}$.
Do G là trọng tâm tam giác ABC nên G thuộc AM và $AG = \frac{2}{3}AM \Rightarrow \overrightarrow{AM} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AG}$.
Do đó, $\overrightarrow{AD} = 6\overrightarrow{AG} - 2 \cdot \frac{3}{2} \overrightarrow{AG} = 3 \overrightarrow{AG}$.
Vậy $k=3$.