Câu hỏi:
Họ nguyên hàm của hàm số \[f\left( x \right) = {\sin ^2}x\] là
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Ta có: $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x$.
Nguyên hàm của $\sin^2 x$ là: $\int (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x) dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2x + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$.
Nguyên hàm của $\sin^2 x$ là: $\int (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos 2x) dx = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2} . \frac{1}{2} \sin 2x + C = \frac{x}{2} - \frac{\sin 2x}{4} + C$.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: B
Ta có:
$F(x) = \int f(x) dx = \int (2x - \frac{1}{x}) dx = x^2 - \ln|x| + C$
$F(1) = 1^2 - \ln|1| + C = 1 - 0 + C = 1 \Rightarrow C = 0$
Vậy $F(x) = x^2 - \ln|x|$
$F(-1) = (-1)^2 - \ln|-1| = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1$
Vì $f(x)$ không xác định tại $x=0$ nên ta xét hai khoảng $(-\infty, 0)$ và $(0, +\infty)$.
Trên khoảng $(0, +\infty)$, ta có $F(x) = x^2 - \ln(x) + C_1$. Vì $F(1) = 1$ nên $1 - \ln(1) + C_1 = 1 \Rightarrow C_1 = 0$. Vậy $F(x) = x^2 - \ln(x)$ trên $(0, +\infty)$.
Trên khoảng $(-\infty, 0)$, ta có $F(x) = x^2 - \ln(-x) + C_2$. Do đó, $F(-1) = (-1)^2 - \ln(-(-1)) + C_2 = 1 - \ln(1) + C_2 = 1 + C_2$.
Để $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên tập xác định, ta cần có $F(x)$ liên tục tại điểm nối.
Bài toán có thể có lỗi.
Nếu đề bài cho $f(x) = 2x - \frac{1}{|x|}$ thì bài toán sẽ khác.
Trường hợp này, $F(x) = x^2 - ln|x| + C$. $F(1) = 1$ nên $C=0$. $F(x) = x^2 - ln|x|$. $F(-1) = 1 - ln(1) = 1$.
$F(x) = \int f(x) dx = \int (2x - \frac{1}{x}) dx = x^2 - \ln|x| + C$
$F(1) = 1^2 - \ln|1| + C = 1 - 0 + C = 1 \Rightarrow C = 0$
Vậy $F(x) = x^2 - \ln|x|$
$F(-1) = (-1)^2 - \ln|-1| = 1 - \ln(1) = 1 - 0 = 1$
Vì $f(x)$ không xác định tại $x=0$ nên ta xét hai khoảng $(-\infty, 0)$ và $(0, +\infty)$.
Trên khoảng $(0, +\infty)$, ta có $F(x) = x^2 - \ln(x) + C_1$. Vì $F(1) = 1$ nên $1 - \ln(1) + C_1 = 1 \Rightarrow C_1 = 0$. Vậy $F(x) = x^2 - \ln(x)$ trên $(0, +\infty)$.
Trên khoảng $(-\infty, 0)$, ta có $F(x) = x^2 - \ln(-x) + C_2$. Do đó, $F(-1) = (-1)^2 - \ln(-(-1)) + C_2 = 1 - \ln(1) + C_2 = 1 + C_2$.
Để $F(x)$ là nguyên hàm của $f(x)$ trên tập xác định, ta cần có $F(x)$ liên tục tại điểm nối.
Bài toán có thể có lỗi.
Nếu đề bài cho $f(x) = 2x - \frac{1}{|x|}$ thì bài toán sẽ khác.
Trường hợp này, $F(x) = x^2 - ln|x| + C$. $F(1) = 1$ nên $C=0$. $F(x) = x^2 - ln|x|$. $F(-1) = 1 - ln(1) = 1$.
Lời giải:
Đáp án đúng: C
Ta có: $f(x) = \frac{1}{x^3} = x^{-3}$.
Khi đó, nguyên hàm của $f(x)$ là:
$\int f(x) dx = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = - \frac{1}{2x^2} + C$.
Khi đó, nguyên hàm của $f(x)$ là:
$\int f(x) dx = \int x^{-3} dx = \frac{x^{-3+1}}{-3+1} + C = \frac{x^{-2}}{-2} + C = - \frac{1}{2x^2} + C$.
Lời giải:
Đáp án đúng: B
Ta có tính chất của tích phân: $\int_a^b f(x) dx = \int_a^c f(x) dx + \int_c^b f(x) dx$.
Suy ra: $\int_c^b f(x) dx = \int_a^b f(x) dx - \int_a^c f(x) dx = 3 - 8 = -5$.
Suy ra: $\int_c^b f(x) dx = \int_a^b f(x) dx - \int_a^c f(x) dx = 3 - 8 = -5$.
Lời giải:
Đáp án đúng: a
Ta có:
$\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + 2} \right]{\rm{d}}} x = \int\limits_1^4 {f(x)dx} + \int\limits_1^4 {2dx} $
Vậy $\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + 2} \right]{\rm{d}}} x = 6 + 6 = 12$.
$\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + 2} \right]{\rm{d}}} x = \int\limits_1^4 {f(x)dx} + \int\limits_1^4 {2dx} $
- $\int\limits_1^4 {f(x)dx} = F(4) - F(1) = 9 - 3 = 6$
- $\int\limits_1^4 {2dx} = 2x\Big|_1^4 = 2(4) - 2(1) = 8 - 2 = 6$
Vậy $\int\limits_1^4 {\left[ {f\left( x \right) + 2} \right]{\rm{d}}} x = 6 + 6 = 12$.
Lời giải:
Đáp án đúng: A
Ta có:
$\int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {2 - 5f\left( x \right)} \right]} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ - 3}^1 {2\,{\rm{d}}x} - 5\int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = 2\left( {1 - \left( { - 3} \right)} \right) - 5\left( { - 2} \right) = 8 + 10 = 18$.
Vậy đáp án là A.
$\int\limits_{ - 3}^1 {\left[ {2 - 5f\left( x \right)} \right]} \,{\rm{d}}x = \int\limits_{ - 3}^1 {2\,{\rm{d}}x} - 5\int\limits_{ - 3}^1 {f\left( x \right)\,{\rm{d}}x} = 2\left( {1 - \left( { - 3} \right)} \right) - 5\left( { - 2} \right) = 8 + 10 = 18$.
Vậy đáp án là A.
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Câu 15: 
Cho một chất điểm chuyển động theo quy luật vận tốc \[v\left( t \right)\]( đơn vị: \[{\rm{m/s}}\]) có đồ thị như hình vẽ bên. Trong đó đồ thị có dạng các đoạn thẳng tương ứng theo thời gian \[t\] giây khi \[0 \le t \le 3\], \[8 \le t \le 15\] và có dạng đường parabol tương ứng thời gian \[t\] giây khi \[3 \le t \le 8\]
a) Vận tốc của chất điểm tại thời điểm \[t = 15\] là \[v\left( {15} \right) = 21\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\]
b) Quãng đường mà chất điểm đi được trong thời gian \[3\] giây đầu \[\left( {0 \le t \le 3} \right)\] là \(S = \int\limits_0^3 {11\,{\rm{d}}t\,\,\,{\rm{(m)}}} \)
c) Quãng đường mà chất điểm đi được trong khoảng thời gian \[7\] giây cuối \[\left( {8 \le t \le 15} \right)\] là \(73,5\,\,{\rm{m}}\).
d) Vận tốc trung bình \({v_{tb}}\) của chất điểm trong thời gian \[t\] giây \[\left( {3 \le t \le 8} \right)\] thỏa mãn \({v_{tb}} < 7\,\,\left( {{\rm{m/s}}} \right)\)
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
