Câu hỏi:
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{x}\).
a) \(\int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = 2x + \ln \left| x \right| + C\).
b) Gọi \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) và thỏa mãn \(F\left( 1 \right) = 3\).
Khi đó \(F\left( x \right) = 2x + \ln \left| x \right| + 1\).
c) \(\int {f'\left( {2x} \right)} \,{\rm{d}}x = \frac{{ - 1}}{{4x}} + C\).
d) Gọi \(G\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\). Biết \(G\left( 2 \right) = 1\) và \(G\left( 5 \right) + G\left( { - 5} \right) = 0\). Ta tìm được \(G\left( { - 10} \right) = a\ln 10 + b\ln 5 + c\ln 2 + d\), với \(a,\,b,\,c\) là các số hữu tỷ. Ta có \(a + b + c + d = - 19\).
Trả lời:
Đáp án đúng:
Ta xét từng đáp án:
a) $f(x) = \frac{2x+1}{x} = 2 + \frac{1}{x}$. Suy ra $\int f(x) dx = \int (2 + \frac{1}{x}) dx = 2x + \ln |x| + C$. Vậy đáp án a đúng.
b) Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên $F(x) = 2x + \ln |x| + C$.
Theo đề bài $F(1) = 3$, suy ra $2(1) + \ln |1| + C = 3 \Leftrightarrow 2 + 0 + C = 3 \Leftrightarrow C = 1$.
Vậy $F(x) = 2x + \ln |x| + 1$. Đáp án b đúng.
c) Ta có $f'(x) = (2 + \frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$.
Suy ra $f'(2x) = -\frac{1}{(2x)^2} = -\frac{1}{4x^2}$.
Do đó $\int f'(2x) dx = \int -\frac{1}{4x^2} dx = \frac{1}{4x} + C$. Vậy đáp án c sai.
d) Ta có $G(x) = 2x + \ln |x| + C$.
Theo đề bài $G(2) = 1$ suy ra $2(2) + \ln |2| + C = 1 \Leftrightarrow 4 + \ln 2 + C = 1 \Leftrightarrow C = -3 - \ln 2$.
Vậy $G(x) = 2x + \ln |x| - 3 - \ln 2$.
$G(5) = 2(5) + \ln 5 - 3 - \ln 2 = 7 + \ln 5 - \ln 2$.
$G(-5) = 2(-5) + \ln |-5| - 3 - \ln 2 = -13 + \ln 5 - \ln 2$.
Suy ra $G(5) + G(-5) = 7 + \ln 5 - \ln 2 - 13 + \ln 5 - \ln 2 = -6 + 2\ln 5 - 2\ln 2 = 0 \Leftrightarrow 2\ln 5 - 2\ln 2 = 6 \Leftrightarrow \ln 5 - \ln 2 = 3 \Leftrightarrow \ln \frac{5}{2} = 3$. (Vô lý)
$G(-10) = 2(-10) + \ln |-10| - 3 - \ln 2 = -23 + \ln 10 - \ln 2 = -23 + \ln (5\cdot2) - \ln 2 = -23 + \ln 5 + \ln 2 - \ln 2 = -23 + \ln 5$.
Vậy $a = 0, b = 1, c = 0, d = -23$. Suy ra $a + b + c + d = 0 + 1 + 0 - 23 = -22 \neq -19$. Vậy đáp án d sai.
a) $f(x) = \frac{2x+1}{x} = 2 + \frac{1}{x}$. Suy ra $\int f(x) dx = \int (2 + \frac{1}{x}) dx = 2x + \ln |x| + C$. Vậy đáp án a đúng.
b) Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên $F(x) = 2x + \ln |x| + C$.
Theo đề bài $F(1) = 3$, suy ra $2(1) + \ln |1| + C = 3 \Leftrightarrow 2 + 0 + C = 3 \Leftrightarrow C = 1$.
Vậy $F(x) = 2x + \ln |x| + 1$. Đáp án b đúng.
c) Ta có $f'(x) = (2 + \frac{1}{x})' = -\frac{1}{x^2}$.
Suy ra $f'(2x) = -\frac{1}{(2x)^2} = -\frac{1}{4x^2}$.
Do đó $\int f'(2x) dx = \int -\frac{1}{4x^2} dx = \frac{1}{4x} + C$. Vậy đáp án c sai.
d) Ta có $G(x) = 2x + \ln |x| + C$.
Theo đề bài $G(2) = 1$ suy ra $2(2) + \ln |2| + C = 1 \Leftrightarrow 4 + \ln 2 + C = 1 \Leftrightarrow C = -3 - \ln 2$.
Vậy $G(x) = 2x + \ln |x| - 3 - \ln 2$.
$G(5) = 2(5) + \ln 5 - 3 - \ln 2 = 7 + \ln 5 - \ln 2$.
$G(-5) = 2(-5) + \ln |-5| - 3 - \ln 2 = -13 + \ln 5 - \ln 2$.
Suy ra $G(5) + G(-5) = 7 + \ln 5 - \ln 2 - 13 + \ln 5 - \ln 2 = -6 + 2\ln 5 - 2\ln 2 = 0 \Leftrightarrow 2\ln 5 - 2\ln 2 = 6 \Leftrightarrow \ln 5 - \ln 2 = 3 \Leftrightarrow \ln \frac{5}{2} = 3$. (Vô lý)
$G(-10) = 2(-10) + \ln |-10| - 3 - \ln 2 = -23 + \ln 10 - \ln 2 = -23 + \ln (5\cdot2) - \ln 2 = -23 + \ln 5 + \ln 2 - \ln 2 = -23 + \ln 5$.
Vậy $a = 0, b = 1, c = 0, d = -23$. Suy ra $a + b + c + d = 0 + 1 + 0 - 23 = -22 \neq -19$. Vậy đáp án d sai.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng:
Gọi O là tâm hình vuông, M là một điểm bất kỳ thuộc miền D.
Khoảng cách từ M đến O nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách từ M đến cạnh hình vuông gần nhất. Điều này có nghĩa là M nằm trong hình tròn tâm O bán kính bằng nửa cạnh hình vuông, tức là r = 2.
Vậy, miền D là hình tròn nội tiếp hình vuông.
Diện tích miền D là: $S = \pi r^2 = \pi * 2^2 = 4\pi \approx 12.566 \approx 12.6$ (sau khi làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Vậy đáp án là 12.6, tuy nhiên không có đáp án nào trùng khớp hoàn toàn. Trong các đáp án, 12.5 là gần nhất.
Khoảng cách từ M đến O nhỏ hơn hoặc bằng khoảng cách từ M đến cạnh hình vuông gần nhất. Điều này có nghĩa là M nằm trong hình tròn tâm O bán kính bằng nửa cạnh hình vuông, tức là r = 2.
Vậy, miền D là hình tròn nội tiếp hình vuông.
Diện tích miền D là: $S = \pi r^2 = \pi * 2^2 = 4\pi \approx 12.566 \approx 12.6$ (sau khi làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).
Vậy đáp án là 12.6, tuy nhiên không có đáp án nào trùng khớp hoàn toàn. Trong các đáp án, 12.5 là gần nhất.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Gọi $R$ là bán kính ngoài, $r$ là bán kính trong của vòng. Chiều cao của vòng là $h = 1\,{\rm{cm}}$.
Thể tích của vòng là:
$V = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right)h = \pi \left( {{7^2} - {5^2}} \right).1 = 24\pi \approx 75,36\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$
Diện tích hình tròn là:
$S = \pi {r^2} = \pi .{\left( 1 \right)^2} = \pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$
Vậy thể tích của vòng là:
$\begin{array}{l}
V = S.C = \pi .1.\left( {7 + 5} \right).2 = 24\pi \,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} \\
\approx 24.3,14 = 75,36\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\\
\end{array}$
Do đó, thể tích của chiếc vòng là: $75.36 \times \pi \approx 565,2\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$.
Thể tích của vòng là:
$V = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right)h = \pi \left( {{7^2} - {5^2}} \right).1 = 24\pi \approx 75,36\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}$
Diện tích hình tròn là:
$S = \pi {r^2} = \pi .{\left( 1 \right)^2} = \pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)$
Vậy thể tích của vòng là:
$\begin{array}{l}
V = S.C = \pi .1.\left( {7 + 5} \right).2 = 24\pi \,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3} \\
\approx 24.3,14 = 75,36\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\\
\end{array}$
Do đó, thể tích của chiếc vòng là: $75.36 \times \pi \approx 565,2\,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}$.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Thể tích phần giao nhau của hai khối trụ có bán kính đáy $R$ và trục vuông góc là: $V = \frac{16R^3}{3}$
Vậy trong bài này, $V = \frac{16 \cdot 3^3}{3} = 16 \cdot 9 = 144$.
Tuy nhiên, câu hỏi có vấn đề vì không có đáp án nào đúng. Đáp án đúng phải là $144$. Có lẽ có sự nhầm lẫn trong các lựa chọn, hoặc bán kính đáy đã bị ghi sai.
Có lẽ phải tính thể tích của một nửa hình giao:
Một nửa hình giao có thể tích là $16R^3 \/ 6 = 8R^3 \/ 3 = 8(3^3) \/ 3 = 8(27) \/ 3 = 8(9) = 72$.
Vậy trong bài này, $V = \frac{16 \cdot 3^3}{3} = 16 \cdot 9 = 144$.
Tuy nhiên, câu hỏi có vấn đề vì không có đáp án nào đúng. Đáp án đúng phải là $144$. Có lẽ có sự nhầm lẫn trong các lựa chọn, hoặc bán kính đáy đã bị ghi sai.
Có lẽ phải tính thể tích của một nửa hình giao:
Một nửa hình giao có thể tích là $16R^3 \/ 6 = 8R^3 \/ 3 = 8(3^3) \/ 3 = 8(27) \/ 3 = 8(9) = 72$.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Gọi $t_T$ là thời gian Tít chạy được 10km và $t_M$ là thời gian Mít chạy được 10km.
Ta có:
$s_T(t) = \int_0^t 5\sqrt{x} dx = \frac{10}{3}x^{\frac{3}{2}}$
$s_T(t_T) = 10 \Leftrightarrow \frac{10}{3}t_T^{\frac{3}{2}} = 10 \Leftrightarrow t_T = 3^{\frac{2}{3}} \approx 2.08$ giờ
$s_M(t_M) = 10 \Leftrightarrow 5t_M - \frac{5}{2\pi}\sin(2\pi t_M) = 10 \Leftrightarrow t_M - \frac{1}{2\pi}\sin(2\pi t_M) = 2$
Ta thấy $t_M = 2$ là một nghiệm của phương trình trên.
Vì $t_M < t_T$ nên Mít chạy được 10km trước và cuộc đua kết thúc sau 2 giờ.
Quãng đường Tít chạy được sau 2 giờ là: $s_T(2) = \frac{10}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}} = \frac{20\sqrt{2}}{3} \approx 9.43$ km
Vậy khoảng cách giữa hai bạn là: $10 - 9.43 = 0.57$ km. Làm tròn ta được 0.56 km.
Ta có:
$s_T(t) = \int_0^t 5\sqrt{x} dx = \frac{10}{3}x^{\frac{3}{2}}$
$s_T(t_T) = 10 \Leftrightarrow \frac{10}{3}t_T^{\frac{3}{2}} = 10 \Leftrightarrow t_T = 3^{\frac{2}{3}} \approx 2.08$ giờ
$s_M(t_M) = 10 \Leftrightarrow 5t_M - \frac{5}{2\pi}\sin(2\pi t_M) = 10 \Leftrightarrow t_M - \frac{1}{2\pi}\sin(2\pi t_M) = 2$
Ta thấy $t_M = 2$ là một nghiệm của phương trình trên.
Vì $t_M < t_T$ nên Mít chạy được 10km trước và cuộc đua kết thúc sau 2 giờ.
Quãng đường Tít chạy được sau 2 giờ là: $s_T(2) = \frac{10}{3} \cdot 2^{\frac{3}{2}} = \frac{20\sqrt{2}}{3} \approx 9.43$ km
Vậy khoảng cách giữa hai bạn là: $10 - 9.43 = 0.57$ km. Làm tròn ta được 0.56 km.
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
