Câu hỏi:

Câu hỏi này yêu cầu lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc hai $y = x^2 - 5x$. Để giải quyết, ta cần tìm đỉnh của parabol, trục đối xứng, và hướng bề lõm.

• Đỉnh của parabol: $x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-5)}{2(1)} = \frac{5}{2}$. Khi $x = \frac{5}{2}$, $y = (\frac{5}{2})^2 - 5(\frac{5}{2}) = \frac{25}{4} - \frac{25}{2} = -\frac{25}{4}$. Vậy đỉnh là $(\frac{5}{2}, -\frac{25}{4})$.
• Trục đối xứng: $x = \frac{5}{2}$.
• Vì $a = 1 > 0$, parabol có bề lõm hướng lên.

Từ đó, ta có thể lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.

Điều kiện để phương trình có nghiệm là: $x^2-(2m-1)x-m^2+5m-1 \ge 0$ và $x + 1 \ge 0$. Ta có phương trình: $\sqrt{x^2-(2m-1)x-m^2+5m-1} = x+1$ $\Leftrightarrow x^2-(2m-1)x-m^2+5m-1 = (x+1)^2$ $\Leftrightarrow x^2-(2m-1)x-m^2+5m-1 = x^2+2x+1$ $\Leftrightarrow -(2m-1)x - m^2+5m-1 = 2x+1$ $\Leftrightarrow (-2m+1-2)x = m^2 - 5m + 2$ $\Leftrightarrow (-2m-1)x = m^2 - 5m + 2$ $\Leftrightarrow x = \frac{m^2-5m+2}{-2m-1}$
Điều kiện $x \ge -1$: $\frac{m^2-5m+2}{-2m-1} \ge -1$ $\frac{m^2-5m+2}{-2m-1} + 1 \ge 0$ $\frac{m^2-5m+2 -2m-1}{-2m-1} \ge 0$ $\frac{m^2-7m+1}{-2m-1} \ge 0$ $\frac{m^2-7m+1}{2m+1} \le 0$
Xét $m^2-7m+1 = 0$, ta có $m = \frac{7 \pm \sqrt{49-4}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2}$. Vậy $m_1 = \frac{7 - 3\sqrt{5}}{2} \approx 0.146$ và $m_2 = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} \approx 6.854$.
Xét $2m+1 = 0$, ta có $m = -\frac{1}{2} = -0.5$.
Bảng xét dấu: | m | -$\infty$ | -0.5 | $\frac{7 - 3\sqrt{5}}{2}$ | $\frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}$ | +$\infty$ | | ----------------- | ------------- | ---- | ---------------------------- | ---------------------------- | ------------- | | $m^2-7m+1$ | + | + | 0 | 0 | + | | $2m+1$ | - | 0 | + | + | + | | $\frac{m^2-7m+1}{2m+1}$ | - | | - | + | + |
Ta cần $x = \frac{m^2-5m+2}{-2m-1}$ là nghiệm duy nhất. Điều này xảy ra khi $x = -1$ là nghiệm kép hoặc nghiệm duy nhất. Nếu $m = -1$, thì $-2m-1 = 2 - 1 = 1 \ne 0$. Khi đó $x = \frac{1 + 5 + 2}{1} = 8$. Kiểm tra lại vào phương trình ban đầu thì thấy không thỏa mãn.
Vậy không có giá trị $m$ nào thỏa mãn.

Gọi $x$ (cm) là chiều cao của rãnh nước. Theo đề bài, chiều rộng đáy rãnh là $42 - 2x$ (cm). Diện tích mặt cắt ngang của rãnh nước là: $S = x(42 - 2x) = 42x - 2x^2$. Để đảm bảo kỹ thuật, ta cần $S \ge 160$ hay $42x - 2x^2 \ge 160$. $\Leftrightarrow 2x^2 - 42x + 160 \le 0 \Leftrightarrow x^2 - 21x + 80 \le 0$. $\Delta = (-21)^2 - 4 * 1 * 80 = 441 - 320 = 121 > 0$, suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_1 = \dfrac{21 - \sqrt{121}}{2} = \dfrac{21 - 11}{2} = 5$ và $x_2 = \dfrac{21 + \sqrt{121}}{2} = \dfrac{21 + 11}{2} = 16$. Bảng xét dấu: \[\begin{array}{c|ccccccc}x & -\infty & & 5 & & 16 & & +\infty \\\hline f(x) & & + & 0 & - & 0 & + & \\\end{array}\] Vậy $5 \le x \le 16$. Để rãnh nước có độ cao ít nhất, ta chọn $x = 5$. Do đó bác Nam cần làm rãnh nước có độ cao ít nhất là $5$ cm.

Parabol $y = ax^2 + bx + c$ có trục đối xứng là đường thẳng $x = -\frac{b}{2a}$.
Trong trường hợp này, $a = 1$ và $b = 3$, vậy trục đối xứng là $x = -\frac{3}{2(1)} = -\frac{3}{2}$.