Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác vuông tại \(A\), \(AB = a\), \(AC = a\sqrt 3 \), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = 2a\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBC} \right)\) bằng
Trả lời:
Đáp án đúng: A
Gọi $d$ là khoảng cách từ $A$ đến $(SBC)$.
Ta có:
$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a$
Diện tích tam giác $ABC$ là: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a.a\sqrt 3 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là: ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.2a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$
Ta có: $SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 $
$SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {4{a^2} + 3{a^2}} = a\sqrt 7 $
Tính diện tích tam giác SBC:
$\overrightarrow{SB} = (-a; a; -2a)$
$\overrightarrow{SC} = (-a\sqrt{3}; 0; -2a)$
$\left[\overrightarrow{SB}, \overrightarrow{SC} \right] = (-2a^2\sqrt{3}; -2a^2; -a^2\sqrt{3})$
$S_{SBC} = \frac{1}{2} \sqrt{12a^4 + 4a^4 + 3a^4} = \frac{a^2 \sqrt{19}}{2}$
$d(A;(SBC)) = \frac{|2ax + 0y + 0z + 0|}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$
Ta có:
$BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}} = \sqrt {{a^2} + 3{a^2}} = 2a$
Diện tích tam giác $ABC$ là: ${S_{ABC}} = \frac{1}{2}AB.AC = \frac{1}{2}a.a\sqrt 3 = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$
Thể tích khối chóp $S.ABC$ là: ${V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}SA.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.2a.\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}$
Ta có: $SB = \sqrt {S{A^2} + A{B^2}} = \sqrt {4{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 5 $
$SC = \sqrt {S{A^2} + A{C^2}} = \sqrt {4{a^2} + 3{a^2}} = a\sqrt 7 $
Tính diện tích tam giác SBC:
$\overrightarrow{SB} = (-a; a; -2a)$
$\overrightarrow{SC} = (-a\sqrt{3}; 0; -2a)$
$\left[\overrightarrow{SB}, \overrightarrow{SC} \right] = (-2a^2\sqrt{3}; -2a^2; -a^2\sqrt{3})$
$S_{SBC} = \frac{1}{2} \sqrt{12a^4 + 4a^4 + 3a^4} = \frac{a^2 \sqrt{19}}{2}$
$d(A;(SBC)) = \frac{|2ax + 0y + 0z + 0|}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}$
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Gọi $r$ là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$. Khi đó, chân đường cao $H$ của hình chóp trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$.
Ta có $p = \frac{10+12+14}{2} = 18$.
Diện tích tam giác $ABC$ là $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{18(18-10)(18-12)(18-14)} = \sqrt{18 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{3456} = 24\sqrt{6}$.
Mặt khác, $S = p \cdot r \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{24\sqrt{6}}{18} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$.
Ta có $SH = r \cdot \tan \alpha = \frac{4\sqrt{6}}{3} \cdot 3 = 4\sqrt{6}$.
Vậy thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot 24\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{6} = 32 \cdot 6 = 192{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}$.
Ta có $p = \frac{10+12+14}{2} = 18$.
Diện tích tam giác $ABC$ là $S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{18(18-10)(18-12)(18-14)} = \sqrt{18 \cdot 8 \cdot 6 \cdot 4} = \sqrt{3456} = 24\sqrt{6}$.
Mặt khác, $S = p \cdot r \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{24\sqrt{6}}{18} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$.
Ta có $SH = r \cdot \tan \alpha = \frac{4\sqrt{6}}{3} \cdot 3 = 4\sqrt{6}$.
Vậy thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3} \cdot S \cdot SH = \frac{1}{3} \cdot 24\sqrt{6} \cdot 4\sqrt{6} = 32 \cdot 6 = 192{\rm{ c}}{{\rm{m}}^3}$.
Lời giải:
Đáp án đúng: D
Gọi $O$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Vì $ABCD$ là hình thang cân có $AC \bot BD$ nên $ABCD$ là hình vuông.
Do đó $OA = OB = OC = OD = \frac{AC}{2} = a$.
Diện tích đáy $S_{ABCD} = \frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{2}(2a)(2a) = 2a^2$.
Vì $AH = \frac{1}{3}HC$ và $H$ thuộc $AC$ nên $AH = \frac{1}{4}AC = \frac{1}{4}(2a) = \frac{a}{2}$.
Xét tam giác $A'HA$ vuông tại $H$ có $\angle A'AH = 60^\circ$, ta có $A'H = AH.\tan 60^\circ = \frac{a}{2}.\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Thể tích khối lăng trụ là $V = S_{ABCD}.A'H = 2a^2.\frac{a\sqrt{3}}{2} = a^3\sqrt{3}$.
Do đó $OA = OB = OC = OD = \frac{AC}{2} = a$.
Diện tích đáy $S_{ABCD} = \frac{1}{2}AC.BD = \frac{1}{2}(2a)(2a) = 2a^2$.
Vì $AH = \frac{1}{3}HC$ và $H$ thuộc $AC$ nên $AH = \frac{1}{4}AC = \frac{1}{4}(2a) = \frac{a}{2}$.
Xét tam giác $A'HA$ vuông tại $H$ có $\angle A'AH = 60^\circ$, ta có $A'H = AH.\tan 60^\circ = \frac{a}{2}.\sqrt{3} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Thể tích khối lăng trụ là $V = S_{ABCD}.A'H = 2a^2.\frac{a\sqrt{3}}{2} = a^3\sqrt{3}$.
Lời giải:
Đáp án đúng:
a) Vì $SA \perp (ABC)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, suy ra $SA \bot BC$.
b) Vì $AM$ là đường trung tuyến của tam giác đều $ABC$ cạnh $2a$ nên $AM = \frac{2a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3} \neq a$.
c) Ta có: $BC \bot AM$ (vì tam giác $ABC$ đều) và $BC \bot SA$ (vì $SA \bot (ABC)$). Do đó, $BC \bot (SAM)$.
d) Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$. Ta có $H \equiv A$. Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc giữa $SM$ và $AM$ (vì $AM \bot BC$). Ta có $tan(\widehat{SMA}) = \frac{SA}{AM} = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{3}} = 1$. Suy ra $\widehat{SMA} = 45^\circ$.
b) Vì $AM$ là đường trung tuyến của tam giác đều $ABC$ cạnh $2a$ nên $AM = \frac{2a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3} \neq a$.
c) Ta có: $BC \bot AM$ (vì tam giác $ABC$ đều) và $BC \bot SA$ (vì $SA \bot (ABC)$). Do đó, $BC \bot (SAM)$.
d) Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$. Ta có $H \equiv A$. Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc giữa $SM$ và $AM$ (vì $AM \bot BC$). Ta có $tan(\widehat{SMA}) = \frac{SA}{AM} = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{3}} = 1$. Suy ra $\widehat{SMA} = 45^\circ$.
Lời giải:
Đáp án đúng:
a) Vì $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $ABCD$, và $H$ là trung điểm của $AB$, nên $SH$ vuông góc với $AB$. Do đó, $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.
b) Diện tích hình thoi $ABCD$ là $a^2\sin(60^\circ) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. Chiều cao $SH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Thể tích khối chóp là $\frac{1}{3}SH.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3}{4}$. Vậy câu b sai.
c) Tính góc nhị diện $\left[ {A,SC,B} \right]$ phức tạp và cần tính toán kỹ lưỡng.
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $SN$ cũng phức tạp và đòi hỏi kiến thức về hình học không gian.
b) Diện tích hình thoi $ABCD$ là $a^2\sin(60^\circ) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. Chiều cao $SH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Thể tích khối chóp là $\frac{1}{3}SH.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3}{4}$. Vậy câu b sai.
c) Tính góc nhị diện $\left[ {A,SC,B} \right]$ phức tạp và cần tính toán kỹ lưỡng.
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $SN$ cũng phức tạp và đòi hỏi kiến thức về hình học không gian.
Lời giải:
Đáp án đúng:
a) Vì $(SAB)$ vuông góc với $(ABC)$ và $H$ là trung điểm của $AB$, đồng thời tam giác $SAB$ đều, nên $SH$ vuông góc với $AB$. Suy ra $SH$ vuông góc với $(ABC)$.
b) $d(S,(ABC)) = SH$. Vì tam giác $SAB$ đều cạnh $2a$, $SH$ là đường cao nên $SH = \frac{2a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$. Vậy $d(S,(ABC)) = a\sqrt 3$.
c) Khoảng cách từ $C$ đến $(SAB)$: Gọi $K$ là hình chiếu của $C$ lên $AB$. Ta có $CK \bot AB$. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có $\frac{1}{CK^2} = \frac{1}{AC^2} + \frac{1}{BC^2}$. $AB = 2a$, $AC = a\sqrt{3}$, suy ra $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4a^2 - 3a^2} = a$. Vậy $\frac{1}{CK^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{4}{3a^2}$, suy ra $CK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Dựng $CE \bot SH$ tại $E$. Ta có $CE \bot (SAB)$. Vậy $d(C,(SAB)) = CE$.
Ta có $\frac{1}{CE^2} = \frac{1}{CK^2} + \frac{1}{SH^2} = \frac{4}{3a^2} + \frac{1}{3a^2} = \frac{5}{3a^2}$, suy ra $CE = a\sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{a\sqrt{15}}{5}$. Vậy $d(C,(SAB)) = \frac{a\sqrt{15}}{5} \neq \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
d) $d(B,(SAC)) = \frac{{2a\sqrt 5 }}{{13}}$ (cần kiểm tra lại).
b) $d(S,(ABC)) = SH$. Vì tam giác $SAB$ đều cạnh $2a$, $SH$ là đường cao nên $SH = \frac{2a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$. Vậy $d(S,(ABC)) = a\sqrt 3$.
c) Khoảng cách từ $C$ đến $(SAB)$: Gọi $K$ là hình chiếu của $C$ lên $AB$. Ta có $CK \bot AB$. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có $\frac{1}{CK^2} = \frac{1}{AC^2} + \frac{1}{BC^2}$. $AB = 2a$, $AC = a\sqrt{3}$, suy ra $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4a^2 - 3a^2} = a$. Vậy $\frac{1}{CK^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{4}{3a^2}$, suy ra $CK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Dựng $CE \bot SH$ tại $E$. Ta có $CE \bot (SAB)$. Vậy $d(C,(SAB)) = CE$.
Ta có $\frac{1}{CE^2} = \frac{1}{CK^2} + \frac{1}{SH^2} = \frac{4}{3a^2} + \frac{1}{3a^2} = \frac{5}{3a^2}$, suy ra $CE = a\sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{a\sqrt{15}}{5}$. Vậy $d(C,(SAB)) = \frac{a\sqrt{15}}{5} \neq \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
d) $d(B,(SAC)) = \frac{{2a\sqrt 5 }}{{13}}$ (cần kiểm tra lại).
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
