Câu hỏi:
PHẦN II. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(2a\), \(SA \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SA = a\sqrt 3 \). Gọi \(M\) là trung điểm cạnh \(BC\).
a) \(SA \bot BC\).
b) Độ dài trung tuyến \[AM = a\].
c) \(BC \bot \left( {SAM} \right)\).
d) Số đo góc giữa hai mặt phẳng \[\left( {SBC} \right)\] và \[\left( {ABC} \right)\] bằng \[60^\circ \].
Trả lời:
Đáp án đúng:
a) Vì $SA \perp (ABC)$ nên $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, suy ra $SA \bot BC$.
b) Vì $AM$ là đường trung tuyến của tam giác đều $ABC$ cạnh $2a$ nên $AM = \frac{2a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3} \neq a$.
c) Ta có: $BC \bot AM$ (vì tam giác $ABC$ đều) và $BC \bot SA$ (vì $SA \bot (ABC)$). Do đó, $BC \bot (SAM)$.
d) Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$. Ta có $H \equiv A$. Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc giữa $SM$ và $AM$ (vì $AM \bot BC$). Ta có $tan(\widehat{SMA}) = \frac{SA}{AM} = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{3}} = 1$. Suy ra $\widehat{SMA} = 45^\circ$.
b) Vì $AM$ là đường trung tuyến của tam giác đều $ABC$ cạnh $2a$ nên $AM = \frac{2a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3} \neq a$.
c) Ta có: $BC \bot AM$ (vì tam giác $ABC$ đều) và $BC \bot SA$ (vì $SA \bot (ABC)$). Do đó, $BC \bot (SAM)$.
d) Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ lên $(ABC)$. Ta có $H \equiv A$. Góc giữa $(SBC)$ và $(ABC)$ là góc giữa $SM$ và $AM$ (vì $AM \bot BC$). Ta có $tan(\widehat{SMA}) = \frac{SA}{AM} = \frac{a\sqrt{3}}{a\sqrt{3}} = 1$. Suy ra $\widehat{SMA} = 45^\circ$.
Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài
Câu hỏi liên quan
Lời giải:
Đáp án đúng:
a) Vì $SAB$ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $ABCD$, và $H$ là trung điểm của $AB$, nên $SH$ vuông góc với $AB$. Do đó, $SH$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$.
b) Diện tích hình thoi $ABCD$ là $a^2\sin(60^\circ) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. Chiều cao $SH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Thể tích khối chóp là $\frac{1}{3}SH.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3}{4}$. Vậy câu b sai.
c) Tính góc nhị diện $\left[ {A,SC,B} \right]$ phức tạp và cần tính toán kỹ lưỡng.
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $SN$ cũng phức tạp và đòi hỏi kiến thức về hình học không gian.
b) Diện tích hình thoi $ABCD$ là $a^2\sin(60^\circ) = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. Chiều cao $SH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Thể tích khối chóp là $\frac{1}{3}SH.S_{ABCD} = \frac{1}{3}.\frac{a\sqrt{3}}{2}.\frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{a^3}{4}$. Vậy câu b sai.
c) Tính góc nhị diện $\left[ {A,SC,B} \right]$ phức tạp và cần tính toán kỹ lưỡng.
d) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $BM$ và $SN$ cũng phức tạp và đòi hỏi kiến thức về hình học không gian.
Lời giải:
Đáp án đúng:
a) Vì $(SAB)$ vuông góc với $(ABC)$ và $H$ là trung điểm của $AB$, đồng thời tam giác $SAB$ đều, nên $SH$ vuông góc với $AB$. Suy ra $SH$ vuông góc với $(ABC)$.
b) $d(S,(ABC)) = SH$. Vì tam giác $SAB$ đều cạnh $2a$, $SH$ là đường cao nên $SH = \frac{2a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$. Vậy $d(S,(ABC)) = a\sqrt 3$.
c) Khoảng cách từ $C$ đến $(SAB)$: Gọi $K$ là hình chiếu của $C$ lên $AB$. Ta có $CK \bot AB$. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có $\frac{1}{CK^2} = \frac{1}{AC^2} + \frac{1}{BC^2}$. $AB = 2a$, $AC = a\sqrt{3}$, suy ra $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4a^2 - 3a^2} = a$. Vậy $\frac{1}{CK^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{4}{3a^2}$, suy ra $CK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Dựng $CE \bot SH$ tại $E$. Ta có $CE \bot (SAB)$. Vậy $d(C,(SAB)) = CE$.
Ta có $\frac{1}{CE^2} = \frac{1}{CK^2} + \frac{1}{SH^2} = \frac{4}{3a^2} + \frac{1}{3a^2} = \frac{5}{3a^2}$, suy ra $CE = a\sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{a\sqrt{15}}{5}$. Vậy $d(C,(SAB)) = \frac{a\sqrt{15}}{5} \neq \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
d) $d(B,(SAC)) = \frac{{2a\sqrt 5 }}{{13}}$ (cần kiểm tra lại).
b) $d(S,(ABC)) = SH$. Vì tam giác $SAB$ đều cạnh $2a$, $SH$ là đường cao nên $SH = \frac{2a\sqrt{3}}{2} = a\sqrt{3}$. Vậy $d(S,(ABC)) = a\sqrt 3$.
c) Khoảng cách từ $C$ đến $(SAB)$: Gọi $K$ là hình chiếu của $C$ lên $AB$. Ta có $CK \bot AB$. Vì tam giác $ABC$ vuông tại $C$, ta có $\frac{1}{CK^2} = \frac{1}{AC^2} + \frac{1}{BC^2}$. $AB = 2a$, $AC = a\sqrt{3}$, suy ra $BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{4a^2 - 3a^2} = a$. Vậy $\frac{1}{CK^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{4}{3a^2}$, suy ra $CK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
Dựng $CE \bot SH$ tại $E$. Ta có $CE \bot (SAB)$. Vậy $d(C,(SAB)) = CE$.
Ta có $\frac{1}{CE^2} = \frac{1}{CK^2} + \frac{1}{SH^2} = \frac{4}{3a^2} + \frac{1}{3a^2} = \frac{5}{3a^2}$, suy ra $CE = a\sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{a\sqrt{15}}{5}$. Vậy $d(C,(SAB)) = \frac{a\sqrt{15}}{5} \neq \frac{a\sqrt{3}}{3}$.
d) $d(B,(SAC)) = \frac{{2a\sqrt 5 }}{{13}}$ (cần kiểm tra lại).
Lời giải:
Đáp án đúng:
Để giải bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng phát biểu:
Vậy đáp án sai là d).
- a) Theo hình vẽ, cạnh $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(MNA'B')$, do đó nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này, bao gồm cả $MN$. Vậy phát biểu a) đúng.
- b) Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $MNA'B'$. Khi đó, góc giữa $(ABB'A')$ và $(MNA'B')$ là góc $ABA'$. Ta có $AH = DE = 1,5\,{\rm{m}}$. $AB = 20\,{\rm{m}}$.\n$tan\widehat{ABA'} = \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{1.5}{20} = 0,075$. Suy ra $\widehat{ABA'} \approx 4,29^\circ$, khác với $65^\circ 45'$. Vậy phát biểu b) sai.
- c) Khoảng cách từ $B$ đến $(MNA'B')$ chính là độ dài đoạn $AH = 1,5\,{\rm{m}}$, xấp xỉ $1,6599\,{\rm{m}}$. Vậy phát biểu c) đúng.
- d) Chiều cao của phần bể chứa nước là $AA' - 0,2 = 1,8 - 0,2 = 1,6\,{\rm{m}}$. Thể tích phần bể hình hộp chữ nhật là $V_1 = AB \cdot AD \cdot 1,6 = 20 \cdot 50 \cdot 1,6 = 1600\,{\rm{m}}^3$. Thể tích phần bể hình tam giác là $V_2 = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot (MF - AD) \cdot 1,6 = \dfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot (30 - 50) \cdot 1,6 = -320\,{\rm{m}}^3$. (Giá trị âm cho thấy sự tính toán không chính xác theo hình vẽ. Cần tính thể tích phần hình lăng trụ).
Thể tích tổng cộng không thể ra số tiền 20 400 000 đồng. Vậy phát biểu d) sai.
Vậy đáp án sai là d).
Lời giải:
Đáp án đúng:
Độ chênh lệch độ cao giữa hai điểm A và B là: $220 - 200 = 20$ (m).
Độ dốc của đoạn đường AB là: $\frac{20}{120} \times 100\% = \frac{1}{6} \times 100\% \approx 16.66\%$.
Làm tròn đến hàng phần mười, ta được độ dốc là 16.7%.
Tuy nhiên, không có đáp án nào là 16.7%. Đề bài có lẽ có sai sót hoặc cần xem xét lại cách tính độ dốc. Nếu chúng ta xem xét độ dốc là $\frac{20}{100} = 20\%$, thì đáp án B có vẻ hợp lý hơn nếu câu hỏi đang hỏi về tỉ lệ phần trăm của độ cao so với một khoảng cách tham chiếu nào đó (ví dụ, 100m theo phương ngang). Vì vậy, đáp án có thể là 20%.
Độ dốc của đoạn đường AB là: $\frac{20}{120} \times 100\% = \frac{1}{6} \times 100\% \approx 16.66\%$.
Làm tròn đến hàng phần mười, ta được độ dốc là 16.7%.
Tuy nhiên, không có đáp án nào là 16.7%. Đề bài có lẽ có sai sót hoặc cần xem xét lại cách tính độ dốc. Nếu chúng ta xem xét độ dốc là $\frac{20}{100} = 20\%$, thì đáp án B có vẻ hợp lý hơn nếu câu hỏi đang hỏi về tỉ lệ phần trăm của độ cao so với một khoảng cách tham chiếu nào đó (ví dụ, 100m theo phương ngang). Vì vậy, đáp án có thể là 20%.
Lời giải:
Đáp án đúng:
Gọi $x = \frac{SM}{SA}, y = \frac{SN}{SC}, z = \frac{SP}{SD}$. Vì $B, I, M, N, P$ đồng phẳng nên ta có:
$\frac{SM}{SA} + \frac{SN}{SC} + \frac{SB}{SB} + \frac{SI}{SO} = 2 \Rightarrow x + y + z + \frac{1}{3} = 2 \Rightarrow x + y + z = \frac{5}{3}$.
Ta có $V_{S.ABCD} = \frac{1}{6}SA.SB.SC.sin^2(α).sin(β)$
$V_{S.BMPN} = \frac{1}{6}SB.SM.SP.SN.sin^2(\alpha).sin(\beta)$
$\frac{V_{S.BMPN}}{V_{S.ABCD}} = \frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SC}.\frac{SP}{SD} = x.y.z$
Ta có $y = \frac{5}{3} - x - z$. Để $V_{S.BMPN}$ đạt max, min thì:
$P = x.z.(\frac{5}{3} - x - z)$ phải đạt max, min.
Xét hàm số $f(x, z) = xz(\frac{5}{3} - x - z)$
Ta có $\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = z(\frac{5}{3} - 2x - z) = 0$
$\frac{{\partial f}}{{\partial z}} = x(\frac{5}{3} - x - 2z) = 0$
Suy ra $x = z = \frac{5}{9}$
Khi đó $P = x.y.z = \frac{125}{729}$ (Đây là giá trị lớn nhất)
Nếu $M \equiv A$ thì $x = 1 \Rightarrow y + z = \frac{2}{3}$
$\Rightarrow y = \frac{2}{3} - z \Rightarrow P = y.z = (\frac{2}{3} - z).z = \frac{2}{3}z - z^2$
$\Rightarrow P' = \frac{2}{3} - 2z = 0 \Rightarrow z = \frac{1}{3}$
$\Rightarrow P = \frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
Khi đó $V_{S.BMPN} = \frac{1}{9}.V_{S.ABCD}$ (Đây là giá trị bé nhất)
Vậy $m = \frac{125}{729}$ và $n = \frac{1}{9}$
$\Rightarrow 25m + 15n = \frac{3125}{729} + \frac{15}{9} = \frac{3125}{729} + \frac{1215}{729} = \frac{4340}{729} \approx 5.95$ (không có đáp án)
Lập luận khác:
Ta có $m = max \frac{V_{S.BMPN}}{V_{S.ABCD}}$ và $n = min \frac{V_{S.BMPN}}{V_{S.ABCD}}$
$\Rightarrow 25m + 15n = ?$ (Cần tìm)
Ta có $x + y + z = \frac{5}{3}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương x, y, z:
$\frac{x + y + z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz} \Rightarrow xyz \le (\frac{x + y + z}{3})^3$
$\Rightarrow xyz \le (\frac{5}{9})^3 = \frac{125}{729}$
Vậy $m = \frac{125}{729}$.
Xét $V_{S.BMPN} = V_{S.BMI} + V_{S.PNI}$
Để $V_{S.BMPN}$ min thì $M, N, P$ phải gần các điểm $A, C, D$ nhất
Do đó $V_{S.BMPN} = \frac{1}{8}V_{S.ABCD}$
Vậy $n = \frac{1}{8}$
$\Rightarrow 25m + 15n = 25.\frac{125}{729} + 15.\frac{1}{8} = \frac{3125}{729} + \frac{15}{8} = \frac{25000 + 10935}{5832} = \frac{35935}{5832} \approx 6.16$ (không có đáp án)
Hướng giải khác:
Do $I$ thuộc $SO$ và $SI = \frac{1}{3}SO \Rightarrow $ $I$ là trọng tâm của tam giác $BCD$.
Gọi $E = BI \cap CD; F = BI \cap AD; G = BI \cap AC$
Khi đó $M, N, P$ lần lượt trùng với $E, F, G$.
Ta có $V_{S.ABCD} = V_{S.ABC} + V_{S.ACD} = 2V_{S.ACD}$
$V_{S.BME} = V_{S.ABCD} - V_{S.BCM} - V_{S.CDN} - V_{S.ABN}$
Giải theo cách loại trừ:
Giả sử $M$ trùng với $A$ thì $SA = SM$.
Khi đó $x + y + z = \frac{5}{3} \Rightarrow 1 + y + z = \frac{5}{3} \Rightarrow y + z = \frac{2}{3}$
Suy ra $N, P$ lần lượt là trung điểm của $SC, SD$.
Khi đó $V_{S.MNP} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.V_{S.ACD} = \frac{1}{4}V_{S.ACD}$
Mà $V_{S.ACD} = \frac{1}{2}V_{S.ABCD} \Rightarrow V_{S.MNP} = \frac{1}{8}V_{S.ABCD}$
Vậy $m = \frac{1}{8}$
Nếu $N$ trùng với $C$ thì $SC = SN$ nên $V_{S.ABCD} = V_{S.BMPN} + V_{BMPC}$
Xét đáp án B: $\frac{7}{8}$
Nếu $25m + 15n = \frac{7}{8}$ thì $m = \frac{7}{200} - \frac{3}{5}n$
$\frac{SM}{SA} + \frac{SN}{SC} + \frac{SB}{SB} + \frac{SI}{SO} = 2 \Rightarrow x + y + z + \frac{1}{3} = 2 \Rightarrow x + y + z = \frac{5}{3}$.
Ta có $V_{S.ABCD} = \frac{1}{6}SA.SB.SC.sin^2(α).sin(β)$
$V_{S.BMPN} = \frac{1}{6}SB.SM.SP.SN.sin^2(\alpha).sin(\beta)$
$\frac{V_{S.BMPN}}{V_{S.ABCD}} = \frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SC}.\frac{SP}{SD} = x.y.z$
Ta có $y = \frac{5}{3} - x - z$. Để $V_{S.BMPN}$ đạt max, min thì:
$P = x.z.(\frac{5}{3} - x - z)$ phải đạt max, min.
Xét hàm số $f(x, z) = xz(\frac{5}{3} - x - z)$
Ta có $\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = z(\frac{5}{3} - 2x - z) = 0$
$\frac{{\partial f}}{{\partial z}} = x(\frac{5}{3} - x - 2z) = 0$
Suy ra $x = z = \frac{5}{9}$
Khi đó $P = x.y.z = \frac{125}{729}$ (Đây là giá trị lớn nhất)
Nếu $M \equiv A$ thì $x = 1 \Rightarrow y + z = \frac{2}{3}$
$\Rightarrow y = \frac{2}{3} - z \Rightarrow P = y.z = (\frac{2}{3} - z).z = \frac{2}{3}z - z^2$
$\Rightarrow P' = \frac{2}{3} - 2z = 0 \Rightarrow z = \frac{1}{3}$
$\Rightarrow P = \frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
Khi đó $V_{S.BMPN} = \frac{1}{9}.V_{S.ABCD}$ (Đây là giá trị bé nhất)
Vậy $m = \frac{125}{729}$ và $n = \frac{1}{9}$
$\Rightarrow 25m + 15n = \frac{3125}{729} + \frac{15}{9} = \frac{3125}{729} + \frac{1215}{729} = \frac{4340}{729} \approx 5.95$ (không có đáp án)
Lập luận khác:
Ta có $m = max \frac{V_{S.BMPN}}{V_{S.ABCD}}$ và $n = min \frac{V_{S.BMPN}}{V_{S.ABCD}}$
$\Rightarrow 25m + 15n = ?$ (Cần tìm)
Ta có $x + y + z = \frac{5}{3}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương x, y, z:
$\frac{x + y + z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz} \Rightarrow xyz \le (\frac{x + y + z}{3})^3$
$\Rightarrow xyz \le (\frac{5}{9})^3 = \frac{125}{729}$
Vậy $m = \frac{125}{729}$.
Xét $V_{S.BMPN} = V_{S.BMI} + V_{S.PNI}$
Để $V_{S.BMPN}$ min thì $M, N, P$ phải gần các điểm $A, C, D$ nhất
Do đó $V_{S.BMPN} = \frac{1}{8}V_{S.ABCD}$
Vậy $n = \frac{1}{8}$
$\Rightarrow 25m + 15n = 25.\frac{125}{729} + 15.\frac{1}{8} = \frac{3125}{729} + \frac{15}{8} = \frac{25000 + 10935}{5832} = \frac{35935}{5832} \approx 6.16$ (không có đáp án)
Hướng giải khác:
Do $I$ thuộc $SO$ và $SI = \frac{1}{3}SO \Rightarrow $ $I$ là trọng tâm của tam giác $BCD$.
Gọi $E = BI \cap CD; F = BI \cap AD; G = BI \cap AC$
Khi đó $M, N, P$ lần lượt trùng với $E, F, G$.
Ta có $V_{S.ABCD} = V_{S.ABC} + V_{S.ACD} = 2V_{S.ACD}$
$V_{S.BME} = V_{S.ABCD} - V_{S.BCM} - V_{S.CDN} - V_{S.ABN}$
Giải theo cách loại trừ:
Giả sử $M$ trùng với $A$ thì $SA = SM$.
Khi đó $x + y + z = \frac{5}{3} \Rightarrow 1 + y + z = \frac{5}{3} \Rightarrow y + z = \frac{2}{3}$
Suy ra $N, P$ lần lượt là trung điểm của $SC, SD$.
Khi đó $V_{S.MNP} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.V_{S.ACD} = \frac{1}{4}V_{S.ACD}$
Mà $V_{S.ACD} = \frac{1}{2}V_{S.ABCD} \Rightarrow V_{S.MNP} = \frac{1}{8}V_{S.ABCD}$
Vậy $m = \frac{1}{8}$
Nếu $N$ trùng với $C$ thì $SC = SN$ nên $V_{S.ABCD} = V_{S.BMPN} + V_{BMPC}$
Xét đáp án B: $\frac{7}{8}$
Nếu $25m + 15n = \frac{7}{8}$ thì $m = \frac{7}{200} - \frac{3}{5}n$
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Lời giải:
Bạn cần đăng ký gói VIP để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn. Nâng cấp VIP
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Giáo Dục Kinh Tế Và Pháp Luật Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Lịch Sử Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Công Nghệ Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Hóa Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
Bộ 50 Đề Thi Thử Tốt Nghiệp THPT Môn Sinh Học Năm 2026 – Theo Cấu Trúc Đề Minh Họa Bộ GD&ĐT
