JavaScript is required

Câu hỏi:

Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(I\) là điểm thuộc \(SO\) sao cho \(SI = \frac{1}{3}SO\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thay đổi đi qua \(B\)\(I\) cắt các cạnh \(SA,\,SC,\,SD\) lần lượt tại \(M,\,N,\,P\). Gọi \(m,\,n\) lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của tỉ số \(\frac{{{V_{S.BMPN}}}}{{{V_{S.ABCD}}}}\). Tính giá trị của biểu thức \(25m + 15n\).

Trả lời:

Đáp án đúng:


Gọi $x = \frac{SM}{SA}, y = \frac{SN}{SC}, z = \frac{SP}{SD}$. Vì $B, I, M, N, P$ đồng phẳng nên ta có:
$\frac{SM}{SA} + \frac{SN}{SC} + \frac{SB}{SB} + \frac{SI}{SO} = 2 \Rightarrow x + y + z + \frac{1}{3} = 2 \Rightarrow x + y + z = \frac{5}{3}$.
Ta có $V_{S.ABCD} = \frac{1}{6}SA.SB.SC.sin^2(α).sin(β)$
$V_{S.BMPN} = \frac{1}{6}SB.SM.SP.SN.sin^2(\alpha).sin(\beta)$
$\frac{V_{S.BMPN}}{V_{S.ABCD}} = \frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SC}.\frac{SP}{SD} = x.y.z$
Ta có $y = \frac{5}{3} - x - z$. Để $V_{S.BMPN}$ đạt max, min thì:
$P = x.z.(\frac{5}{3} - x - z)$ phải đạt max, min.
Xét hàm số $f(x, z) = xz(\frac{5}{3} - x - z)$
Ta có $\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = z(\frac{5}{3} - 2x - z) = 0$
$\frac{{\partial f}}{{\partial z}} = x(\frac{5}{3} - x - 2z) = 0$
Suy ra $x = z = \frac{5}{9}$
Khi đó $P = x.y.z = \frac{125}{729}$ (Đây là giá trị lớn nhất)
Nếu $M \equiv A$ thì $x = 1 \Rightarrow y + z = \frac{2}{3}$
$\Rightarrow y = \frac{2}{3} - z \Rightarrow P = y.z = (\frac{2}{3} - z).z = \frac{2}{3}z - z^2$
$\Rightarrow P' = \frac{2}{3} - 2z = 0 \Rightarrow z = \frac{1}{3}$
$\Rightarrow P = \frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
Khi đó $V_{S.BMPN} = \frac{1}{9}.V_{S.ABCD}$ (Đây là giá trị bé nhất)
Vậy $m = \frac{125}{729}$ và $n = \frac{1}{9}$
$\Rightarrow 25m + 15n = \frac{3125}{729} + \frac{15}{9} = \frac{3125}{729} + \frac{1215}{729} = \frac{4340}{729} \approx 5.95$ (không có đáp án)

Lập luận khác:
Ta có $m = max \frac{V_{S.BMPN}}{V_{S.ABCD}}$ và $n = min \frac{V_{S.BMPN}}{V_{S.ABCD}}$
$\Rightarrow 25m + 15n = ?$ (Cần tìm)
Ta có $x + y + z = \frac{5}{3}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương x, y, z:
$\frac{x + y + z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz} \Rightarrow xyz \le (\frac{x + y + z}{3})^3$
$\Rightarrow xyz \le (\frac{5}{9})^3 = \frac{125}{729}$
Vậy $m = \frac{125}{729}$.
Xét $V_{S.BMPN} = V_{S.BMI} + V_{S.PNI}$
Để $V_{S.BMPN}$ min thì $M, N, P$ phải gần các điểm $A, C, D$ nhất
Do đó $V_{S.BMPN} = \frac{1}{8}V_{S.ABCD}$
Vậy $n = \frac{1}{8}$
$\Rightarrow 25m + 15n = 25.\frac{125}{729} + 15.\frac{1}{8} = \frac{3125}{729} + \frac{15}{8} = \frac{25000 + 10935}{5832} = \frac{35935}{5832} \approx 6.16$ (không có đáp án)

Hướng giải khác:
Do $I$ thuộc $SO$ và $SI = \frac{1}{3}SO \Rightarrow $ $I$ là trọng tâm của tam giác $BCD$.
Gọi $E = BI \cap CD; F = BI \cap AD; G = BI \cap AC$
Khi đó $M, N, P$ lần lượt trùng với $E, F, G$.
Ta có $V_{S.ABCD} = V_{S.ABC} + V_{S.ACD} = 2V_{S.ACD}$
$V_{S.BME} = V_{S.ABCD} - V_{S.BCM} - V_{S.CDN} - V_{S.ABN}$

Giải theo cách loại trừ:
Giả sử $M$ trùng với $A$ thì $SA = SM$.
Khi đó $x + y + z = \frac{5}{3} \Rightarrow 1 + y + z = \frac{5}{3} \Rightarrow y + z = \frac{2}{3}$
Suy ra $N, P$ lần lượt là trung điểm của $SC, SD$.
Khi đó $V_{S.MNP} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.V_{S.ACD} = \frac{1}{4}V_{S.ACD}$
Mà $V_{S.ACD} = \frac{1}{2}V_{S.ABCD} \Rightarrow V_{S.MNP} = \frac{1}{8}V_{S.ABCD}$
Vậy $m = \frac{1}{8}$
Nếu $N$ trùng với $C$ thì $SC = SN$ nên $V_{S.ABCD} = V_{S.BMPN} + V_{BMPC}$

Xét đáp án B: $\frac{7}{8}$
Nếu $25m + 15n = \frac{7}{8}$ thì $m = \frac{7}{200} - \frac{3}{5}n$

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan