JavaScript is required

Câu hỏi:

Cho tứ diện đều \(ABCD\). Gọi \(\varphi \) là góc giữa đường thẳng \(AB\) và mặt phẳng \(\left( {BCD} \right)\). Tính \({\rm{cos}}\varphi \).

A.
\({\rm{cos}}\varphi = 0\).
B.
\({\rm{cos}}\varphi = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\).
C.
\({\rm{cos}}\varphi = \frac{1}{2}\).
D.
\({\rm{cos}}\varphi = \frac{{\sqrt 2 }}{3}\).
Trả lời:

Đáp án đúng: B


Gọi $M$ là trung điểm của $CD$. Vì $ABCD$ là tứ diện đều, nên $AM \perp CD$ và $BM \perp CD$. Suy ra $(ABM) \perp CD$.
Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $BCD$. Khi đó, $AG \perp (BCD)$. Góc giữa đường thẳng $AB$ và mặt phẳng $(BCD)$ là góc $\angle ABG = \varphi$.
Ta có $BG = \frac{2}{3}BM$. Xét tam giác $ABG$ vuông tại $G$, ta có:
$\cos \varphi = \cos \angle ABG = \frac{BG}{AB} = \frac{\frac{2}{3}BM}{AB}$.
Vì $ABCD$ là tứ diện đều cạnh $a$ nên $BM = a\frac{\sqrt{3}}{2}$ và $AB=a$.
Suy ra $\cos \varphi = \frac{\frac{2}{3}.a\frac{\sqrt{3}}{2}}{a} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

Câu hỏi liên quan