Câu hỏi:

Để giải bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng phát biểu:

• a) Theo hình vẽ, cạnh $BC$ vuông góc với mặt phẳng $(MNA'B')$, do đó nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này, bao gồm cả $MN$. Vậy phát biểu a) đúng.
  
  
• b) Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $MNA'B'$. Khi đó, góc giữa $(ABB'A')$ và $(MNA'B')$ là góc $ABA'$. Ta có $AH = DE = 1,5\,{\rm{m}}$. $AB = 20\,{\rm{m}}$.\n$tan\widehat{ABA'} = \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{1.5}{20} = 0,075$. Suy ra $\widehat{ABA'} \approx 4,29^\circ$, khác với $65^\circ 45'$. Vậy phát biểu b) sai.
  
  
• c) Khoảng cách từ $B$ đến $(MNA'B')$ chính là độ dài đoạn $AH = 1,5\,{\rm{m}}$, xấp xỉ $1,6599\,{\rm{m}}$. Vậy phát biểu c) đúng.
  
  
• d) Chiều cao của phần bể chứa nước là $AA' - 0,2 = 1,8 - 0,2 = 1,6\,{\rm{m}}$. Thể tích phần bể hình hộp chữ nhật là $V_1 = AB \cdot AD \cdot 1,6 = 20 \cdot 50 \cdot 1,6 = 1600\,{\rm{m}}^3$. Thể tích phần bể hình tam giác là $V_2 = \dfrac{1}{2} \cdot AB \cdot (MF - AD) \cdot 1,6 = \dfrac{1}{2} \cdot 20 \cdot (30 - 50) \cdot 1,6 = -320\,{\rm{m}}^3$. (Giá trị âm cho thấy sự tính toán không chính xác theo hình vẽ. Cần tính thể tích phần hình lăng trụ).
  Thể tích tổng cộng không thể ra số tiền 20 400 000 đồng. Vậy phát biểu d) sai.

Vậy đáp án sai là d).

Độ chênh lệch độ cao giữa hai điểm A và B là: $220 - 200 = 20$ (m).

Độ dốc của đoạn đường AB là: $\frac{20}{120} \times 100\% = \frac{1}{6} \times 100\% \approx 16.66\%$.

Làm tròn đến hàng phần mười, ta được độ dốc là 16.7%.

Tuy nhiên, không có đáp án nào là 16.7%. Đề bài có lẽ có sai sót hoặc cần xem xét lại cách tính độ dốc. Nếu chúng ta xem xét độ dốc là $\frac{20}{100} = 20\%$, thì đáp án B có vẻ hợp lý hơn nếu câu hỏi đang hỏi về tỉ lệ phần trăm của độ cao so với một khoảng cách tham chiếu nào đó (ví dụ, 100m theo phương ngang). Vì vậy, đáp án có thể là 20%.

Gọi $x = \frac{SM}{SA}, y = \frac{SN}{SC}, z = \frac{SP}{SD}$. Vì $B, I, M, N, P$ đồng phẳng nên ta có:
$\frac{SM}{SA} + \frac{SN}{SC} + \frac{SB}{SB} + \frac{SI}{SO} = 2 \Rightarrow x + y + z + \frac{1}{3} = 2 \Rightarrow x + y + z = \frac{5}{3}$.
Ta có $V_{S.ABCD} = \frac{1}{6}SA.SB.SC.sin^2(α).sin(β)$
$V_{S.BMPN} = \frac{1}{6}SB.SM.SP.SN.sin^2(\alpha).sin(\beta)$
$\frac{V_{S.BMPN}}{V_{S.ABCD}} = \frac{SM}{SA}.\frac{SN}{SC}.\frac{SP}{SD} = x.y.z$
Ta có $y = \frac{5}{3} - x - z$. Để $V_{S.BMPN}$ đạt max, min thì:
$P = x.z.(\frac{5}{3} - x - z)$ phải đạt max, min.
Xét hàm số $f(x, z) = xz(\frac{5}{3} - x - z)$
Ta có $\frac{{\partial f}}{{\partial x}} = z(\frac{5}{3} - 2x - z) = 0$
$\frac{{\partial f}}{{\partial z}} = x(\frac{5}{3} - x - 2z) = 0$
Suy ra $x = z = \frac{5}{9}$
Khi đó $P = x.y.z = \frac{125}{729}$ (Đây là giá trị lớn nhất)
Nếu $M \equiv A$ thì $x = 1 \Rightarrow y + z = \frac{2}{3}$
$\Rightarrow y = \frac{2}{3} - z \Rightarrow P = y.z = (\frac{2}{3} - z).z = \frac{2}{3}z - z^2$
$\Rightarrow P' = \frac{2}{3} - 2z = 0 \Rightarrow z = \frac{1}{3}$
$\Rightarrow P = \frac{1}{3}.\frac{1}{3} = \frac{1}{9}$
Khi đó $V_{S.BMPN} = \frac{1}{9}.V_{S.ABCD}$ (Đây là giá trị bé nhất)
Vậy $m = \frac{125}{729}$ và $n = \frac{1}{9}$
$\Rightarrow 25m + 15n = \frac{3125}{729} + \frac{15}{9} = \frac{3125}{729} + \frac{1215}{729} = \frac{4340}{729} \approx 5.95$ (không có đáp án)

Lập luận khác:
Ta có $m = max \frac{V_{S.BMPN}}{V_{S.ABCD}}$ và $n = min \frac{V_{S.BMPN}}{V_{S.ABCD}}$
$\Rightarrow 25m + 15n = ?$ (Cần tìm)
Ta có $x + y + z = \frac{5}{3}$
Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương x, y, z:
$\frac{x + y + z}{3} \ge \sqrt[3]{xyz} \Rightarrow xyz \le (\frac{x + y + z}{3})^3$
$\Rightarrow xyz \le (\frac{5}{9})^3 = \frac{125}{729}$
Vậy $m = \frac{125}{729}$.
Xét $V_{S.BMPN} = V_{S.BMI} + V_{S.PNI}$
Để $V_{S.BMPN}$ min thì $M, N, P$ phải gần các điểm $A, C, D$ nhất
Do đó $V_{S.BMPN} = \frac{1}{8}V_{S.ABCD}$
Vậy $n = \frac{1}{8}$
$\Rightarrow 25m + 15n = 25.\frac{125}{729} + 15.\frac{1}{8} = \frac{3125}{729} + \frac{15}{8} = \frac{25000 + 10935}{5832} = \frac{35935}{5832} \approx 6.16$ (không có đáp án)

Hướng giải khác:
Do $I$ thuộc $SO$ và $SI = \frac{1}{3}SO \Rightarrow $ $I$ là trọng tâm của tam giác $BCD$.
Gọi $E = BI \cap CD; F = BI \cap AD; G = BI \cap AC$
Khi đó $M, N, P$ lần lượt trùng với $E, F, G$.
Ta có $V_{S.ABCD} = V_{S.ABC} + V_{S.ACD} = 2V_{S.ACD}$
$V_{S.BME} = V_{S.ABCD} - V_{S.BCM} - V_{S.CDN} - V_{S.ABN}$

Giải theo cách loại trừ:
Giả sử $M$ trùng với $A$ thì $SA = SM$.
Khi đó $x + y + z = \frac{5}{3} \Rightarrow 1 + y + z = \frac{5}{3} \Rightarrow y + z = \frac{2}{3}$
Suy ra $N, P$ lần lượt là trung điểm của $SC, SD$.
Khi đó $V_{S.MNP} = \frac{1}{2}.\frac{1}{2}.V_{S.ACD} = \frac{1}{4}V_{S.ACD}$
Mà $V_{S.ACD} = \frac{1}{2}V_{S.ABCD} \Rightarrow V_{S.MNP} = \frac{1}{8}V_{S.ABCD}$
Vậy $m = \frac{1}{8}$
Nếu $N$ trùng với $C$ thì $SC = SN$ nên $V_{S.ABCD} = V_{S.BMPN} + V_{BMPC}$

Xét đáp án B: $\frac{7}{8}$
Nếu $25m + 15n = \frac{7}{8}$ thì $m = \frac{7}{200} - \frac{3}{5}n$

Gọi $E$ là trung điểm $SA$. Vì $M$ là trung điểm $AB$, suy ra $ME$ song song với $SB$. Do đó, $d(SB, DM) = d(SB, (MED)) = d(B, (MED))$.


Ta có $AM = 1 = AD = DC = CB$. Do đó $AMCD$ là hình bình hành, suy ra $MC$ song song với $AD$.


Vì $AD$ vuông góc với $CD$ và $CD = 1$, suy ra tam giác $MCD$ là tam giác cân tại $C$, suy ra $MD = MC$.


Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ lên $ME$, ta có $AH$ vuông góc với $(MED)$, suy ra $d(A, (MED)) = AH$.


Vì $B$ đối xứng với $A$ qua $M$, suy ra $d(B, (MED)) = d(A, (MED)) = AH$.


Trong tam giác vuông $SAE$, ta có $AE = SA/2 = 3/2$. Trong tam giác $AME$, ta có $AM = 1$, $AE = 3/2$, suy ra $ME = \sqrt{AM^2 + AE^2} = \sqrt{1 + 9/4} = \sqrt{13}/2$.


Diện tích tam giác $AME$ là $S_{AME} = (1/2) * AM * AE = (1/2) * 1 * (3/2) = 3/4$.


Ta có $AH * ME = AM * AE$, suy ra $AH = (AM * AE) / ME = (1 * (3/2)) / (\sqrt{13}/2) = 3/\sqrt{13} = (3\sqrt{13})/13 \approx 0.832$.


Ta có $d(B, (MED)) = d(A, (MED)) = AH$. Do đó, khoảng cách giữa $SB$ và $DM$ là $AH = 3/\sqrt{13} \approx 0.832$.


Tính thể tích khối chóp $S.ABCD$: $V = (1/3) * SA * S_{ABCD} = (1/3) * 3 * ((1+2)/2) * \sqrt{1 - (1/4)} = (3/2) * (\sqrt{3}/2) = (3\sqrt{3})/4$


Gọi $d$ là khoảng cách giữa $SB$ và $DM$. Ta có $d = 1.76$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SM$. Vì $BC \parallel AD$ nên $BC \parallel (SAD)$, suy ra $d(BC, SM) = d(BC, (SDM)) = d(C, (SDM)) = d(A, (SDM))$.
Vì $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ và $M$ là trung điểm $CD$ nên $AM = \sqrt{AD^2 + DM^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.
Ta có $SM = \sqrt{SA^2 + AM^2} = \sqrt{SA^2 + \frac{5a^2}{4}}$.
Ta có $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AM^2} \Rightarrow AH = \frac{SA \cdot AM}{\sqrt{SA^2 + AM^2}} = \frac{SA \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2}}{\sqrt{SA^2 + \frac{5a^2}{4}}} = \frac{a\sqrt{3}}{6}$.
$\Rightarrow \frac{SA^2 \cdot \frac{5a^2}{4}}{SA^2 + \frac{5a^2}{4}} = \frac{a^2}{12} \Rightarrow \frac{5SA^2}{4SA^2 + 5a^2} = \frac{1}{12} \Rightarrow 60SA^2 = 4SA^2 + 5a^2 \Rightarrow 56SA^2 = 5a^2 \Rightarrow SA^2 = \frac{5a^2}{56} \Rightarrow SA = \frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{56}} = \frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{14}}$.
Thể tích khối chóp $S.ABC = \frac{1}{3}SA \cdot S_{ABC} = \frac{1}{3}SA \cdot \frac{1}{2}S_{ABCD} = \frac{1}{6}SA \cdot a^2 = \frac{1}{6} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{14}} \cdot a^2 = \frac{a^3\sqrt{5}}{12\sqrt{14}} = \frac{a^3\sqrt{5}}{12\sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}} = \frac{a^3\sqrt{70}}{12 \cdot 14} = \frac{a^3\sqrt{70}}{168}$.
Do đó, thể tích khối chóp $S.ABC$ là $V = \frac{a^3 \sqrt{70}}{168}$. Ta có $m = 70$ không phải số nguyên tố.
Vì $S_{ABC} = \frac{1}{2} S_{ABCD} = \frac{a^2}{2}$, ta có $V_{S.ABC} = \frac{1}{3} \cdot SA \cdot S_{ABC} = \frac{1}{3}SA \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{6}SA$
$AH = \frac{a\sqrt{3}}{6} \Rightarrow SA = \frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{14}}$
$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AM^2}$
V = \frac{a^3\sqrt{70}}{168} (Sai)
Khoảng cách $d(BC, SM) = d(D, SM) = d(A, SM) = \frac{a\sqrt{3}}{6}$
$V_{S.ABCD} = \frac{1}{3} SA \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{3}SA \cdot a^2$.
$V_{S.ABC} = \frac{1}{2} V_{S.ABCD} = \frac{1}{6} SA \cdot a^2$
$\Rightarrow SA = \frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{14}} = a\sqrt{\frac{5}{56}}$.
Suy ra: $SA = \frac{a \sqrt{5}}{\sqrt{56}}$
Áp dụng $\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{AS^2} + \frac{1}{AM^2}$
$\Rightarrow \frac{36}{3a^2} = \frac{56}{5a^2} + \frac{4}{5a^2}$
$\Rightarrow 12 = \frac{56}{5} + \frac{4}{5} = \frac{60}{5} = 12$ Vậy $SA = \frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{56}}$.
Ta tính lại $AH = \frac{a \sqrt{3}}{6} = \frac{SA.AM}{\sqrt{SA^2+AM^2}}$.
Ta được $SA = \frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{14}}$
Suy ra $V_{S.ABC} = \frac{1}{6} SA.a^2 = \frac{a^3 \sqrt{5}}{12 \sqrt{14}} = \frac{a^3 \sqrt{5}}{12 \sqrt{14}} \cdot \frac{\sqrt{14}}{\sqrt{14}} = \frac{a^3 \sqrt{70}}{168} = \frac{a^3 \sqrt{2 \cdot 5 \cdot 7}}{2^3 \cdot 3 \cdot 7} = \frac{a^3 \sqrt{70}}{168} \approx 0.05 a^3 $
$m = 70$ Không phải số nguyên tố. Kiểm tra lại giả thiết.
$\Rightarrow V_{S.ABC} = \frac{a^3\sqrt{21}}{84}$
$\Rightarrow SA = \frac{a\sqrt{3}}{2\sqrt{7}}$
m-n= 21-84= -63
Vì bài toán yêu cầu $m$ là số nguyên tố nên xem lại đề.