Trong không gian \(Oxyz\), cho mp \(\left( P \right):ax+by+cz+7=0\) qua điểm \(A\left( 2;0;1 \right)\), vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right):3x-y+z+1=0\) và tạo với mặt phẳng \(\left( R \right):x-y+2z-1=0\) một góc \({{60}^{\text{o}}}\). Tổng \(a+b+c\) bằng?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiDo mặt phẳng \(\left( P \right)\) qua điểm \(A\left( 2;0;1 \right)\) nên ta có: \(2a+c=-7\Leftrightarrow c=-2a-7\,\,\,\left( 1 \right)\).
Mặt phẳng \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right),\,\,\left( R \right)\) có vectơ pháp tuyến lần lượt là:
\(\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left( a;b;c \right),\,\,\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left( 3;-1;1 \right),\,\,\overrightarrow{{{n}_{3}}}=\left( 1;-1;2 \right)\).
Do mặt phẳng \(\left( P \right)\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( Q \right)\) nên ta có:
\(\overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}}=0\Leftrightarrow 3a-b+c=0\Leftrightarrow b=3a+c\Leftrightarrow b=a-7\,\,\,\left( 2 \right)\).
Do mặt phẳng \(\left( P \right)\) tạo với mặt phẳng \(\left( R \right)\) một góc \({{60}^{\text{o}}}\) nên ta có:
\(\cos {{60}^{\text{o}}}=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{3}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{3}}} \right|}\)\( \Leftrightarrow \frac{\left| a-b+2c \right|}{\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}.\sqrt{6}}=\frac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow 2\left| a-b+2c \right|=\sqrt{6}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}\,\,\left( 3 \right)\).
Thay \(\left( 1 \right)\), \(\left( 2 \right)\) vào \(\left( 3 \right)\) ta có:
\(\begin{align} & 2\left| a-b+2c \right|=\sqrt{6}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}+{{c}^{2}}} \\ & \Leftrightarrow 2\left| a-a+7-4a-14 \right|=\sqrt{6}\sqrt{{{a}^{2}}+{{\left( a-7 \right)}^{2}}+{{\left( -2a-7 \right)}^{2}}} \\ \end{align}\)
\(\Leftrightarrow 2\left| -4a-7 \right|=\sqrt{6}\sqrt{6{{a}^{2}}+14a+98}\)
\(\Leftrightarrow 28{{a}^{2}}+140a-392=0\).
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & a=2 \\ & a=-7 \\ \end{align} \right.\)
Với \(a=2\Rightarrow b=-5,\,c=-11\Rightarrow a+b+c=-14\).
Với \(a=-7\Rightarrow b=-14,\,c=7\Rightarrow a+b+c=-14\).
Vậy \(a+b+c=-14\).
Chọn C
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Thủ Thiêm
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp tứ giác đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(a\), \(O\) là tâm mặt đáy. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng \(SO\) và \(CD\) bằng?
-
Cho \(10\) học sinh gồm \(5\) bạn lớp \(12A\) và \(5\) bạn lớp \(12B\) tham gia một trò chơi. Để thực hiện trò chơi, người điều khiển ghép ngẫu nhiên \(10\) học sinh đó thành \(5\) cặp. Xác suất để không có cặp nào gồm hai học sinh cùng lớp bằng?
-
Cho hàm số bậc ba \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình. Phương trình \(f\left( {{x}^{2}} \right)+1=0\) có bao nhiêu nghiệm?
-
Cho hình lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\). Góc giữa 2 đường thẳng \(AB\) và \({B}'{D}'\) bằng?
-
Gọi \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\) là các nghiệm phức của phương trình sau \({{z}^{2}}-3z+5=0\). Môđun của số phức \(\left( 2{{{\bar{z}}}_{1}}-3 \right)\left( 2{{{\bar{z}}}_{2}}-3 \right)\) bằng?
-
Cho góc ở đỉnh của 1 hình nón bằng \({{60}^{0}}\). Gọi \(r,h,l\) lần lượt là bán kính đáy, đường cao, đường sinh của hình nón đó. Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho mp \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với \(\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{3}\) và \(\left( \alpha \right)\) cắt trục \(Ox\), trục \(Oy\) và tia \(Oz\) lần lượt tại \(M\), \(N\), \(P\). Biết rằng thể tích khối tứ diện \(OMNP\) bằng \(6\). Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm nào sau đây?
-
Cho biết họ các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)={{3}^{2x-1}}\) là?
-
Cho khối chóp \({S.ABCD}\) có đáy \({ABCD}\) là hình thoi, \({\widehat{DAB}=60{}^\circ }\), \({AD=a}\), tam giác \({SBC}\) cân tại \({S}\), tam giác \({SCD}\) vuông tại \({C}\), k/c giữa \({SA}\) và \({CD}\) bằng \({\frac{4a}{5}}\). Thể tích của khối chóp đã cho bằng?
-
Cho các số thực dương sau \(a\,,\,b\) thỏa mãn \({{\log }_{2}}\left( a+b \right)=3+{{\log }_{2}}ab\). Giá trị \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\) bằng?
-
Biết khoảng (a; b) là tập hợp tất cả các giá trị dương của tham số m để pt \(3{{\log }_{27}}\left( 2{{\text{x}}^{2}}-x+2m-4{{m}^{2}} \right)+{{\log }_{\frac{1}{\sqrt{3}}}}\sqrt{{{x}^{2}}+mx-2{{m}^{2}}}=0\left( 1 \right)\) có 2 nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}\)thỏa mãn \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}>1\). Tính K = 5a + 2b?
-
Có tất cả bao nhiêu số nguyên \(a\) để phương trình \({{z}^{2}}-\left( a-3 \right)z+{{a}^{2}}+a=0\) có hai nghiệm phức \({{z}_{1}}\), \({{z}_{2}}\)thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+{{z}_{2}} \right|=\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\)?
-
Xét tất cả các số thực dương \(x;y\) thỏa \(\frac{x+y}{10}+\log \left( \frac{1}{2x}+\frac{1}{2y} \right)=1+2xy\). Khi biểu thức \(\frac{4}{{{x}^{2}}}+\frac{1}{{{y}^{2}}}\) đạt giá trị nhỏ nhất, tích \(xy\) bằng?
-
Cho đồ thị \(\left( C \right):y=\frac{x}{x-1}\). Đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(I\left( 1;1 \right)\) cắt \(\left( C \right)\) tại 2 điểm phân biệt \(A\) và \(B\). Khi diện tích tam giác \(MAB\) đạt giá trị nhỏ nhất, với \(M\left( 0;3 \right)\) thì độ dài đoạn \(AB\) bằng?
-
Giả sử hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên. Biết rằng \(G\left( x \right)={{x}^{3}}\) là 1 nguyên hàm của \(g\left( x \right)={{e}^{-2x}}f\left( x \right)\) trên \(\mathbb{R}\). Họ tất cả các nguyên hàm của \({{e}^{-2x}}{f}'\left( x \right)\) là?
-
Trong không gian \(Oxyz\), đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-1}\) song song với mặt phẳng nào?
-
Cho CSC \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{1}}=1\) và \({{u}_{3}}=\frac{1}{3}\). Công sai của \(\left( {{u}_{n}} \right)\) bằng?
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=A{A}'=2a\), \(AC=a\), \(\widehat{BAC}=120{}^\circ \). Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(A.BC{C}'{B}'\)?
-
Cho khối lăng trụ tam giác \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có cạnh \(A{A}'=2a\) và tạo với mp đáy 1 góc bằng \(60{}^\circ \), diện tích tam giác \(ABC\) bằng \({{a}^{2}}\). Thể tích khối lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) bằng?
-
Tìm tập xác định của hàm số \(y=\log x+\log \left( 3-x \right)\)?
