Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm thuộc mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y+z-7=0\) và đi qua hai điểm \(A\left( 1\,;\,2\,;\,1 \right), B\left( 2\,;\,5\,;\,3 \right)\). Bán kính nhỏ nhất của mặt cầu \(\left( S \right)\) bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi \(I\left( x\,;\,y\,;\,z \right)\) là tâm của mặt cầu \(\left( S \right)\).
Vì \(I\in \left( P \right)\) nên \(x+2y+z=7\left( 1 \right)\)
Mặt khác, \(\left( S \right)\) đi qua A và B nên \(IA=IB\text{ }\left( =R \right)\)
\(\Leftrightarrow {{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}+{{\left( z-1 \right)}^{2}}={{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-5 \right)}^{2}}+{{\left( z-3 \right)}^{2}}\)
\(\Leftrightarrow x+3y+2z=16 \left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra I nằm trên đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng: \(\left\{ \begin{array}{l} \left( P \right):x + 2y + z = 7\\ \left( Q \right):x + 3y + 2z = 16 \end{array} \right.\) (I)
\(\Rightarrow d\) có một VTCP \(\overrightarrow{u}=\left[ \overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}\,;\,\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}} \right]=\left( 1\,;\,-1\,;\,1 \right)\), với \(\overrightarrow{{{n}_{\left( P \right)}}}=\left( 1\,;\,2\,;\,1 \right)\) và \(\overrightarrow{{{n}_{\left( Q \right)}}}=\left( 1\,;\,3\,;\,2 \right)\).
Mặt khác, cho z=0 thì \(\left( I \right)\) trở thành: \(\left\{ \begin{align} & x+2y=7 \\ & x+3y=16 \\ \end{align} \right.\) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & x=-11 \\ & y=9 \\ \end{align} \right.\).
\(\Rightarrow d\) đi qua điểm \(B\left( -11\,;\,9\,;\,0 \right)\).
Do đó, d có phương trình tham số: \(\left\{ \begin{align} & x=-11+t \\ & y=9-t \\ & z=t \\ \end{align} \right.\left( t\in \mathbb{R} \right)\).
\(\Rightarrow I\left( -11+t\,;\,9-t\,;\,t \right)\).
\(\Rightarrow R=IA=\sqrt{{{\left( t-12 \right)}^{2}}+{{\left( 7-t \right)}^{2}}+{{\left( t-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{3{{t}^{2}}-40t+194}\).
Đặt \(f\left( t \right)=3{{t}^{2}}-40t+194, t\in \mathbb{R}\).
Vì \(f\left( t \right)\) là hàm số bậc hai nên \(\underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,f\left( t \right)=f\left( \frac{20}{3} \right)=\frac{182}{3}\).
Vậy \({{R}_{\min }}=\sqrt{\frac{182}{3}}=\frac{\sqrt{546}}{3}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Tô Hiến Thành lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau.
.png)
Đồ thị hàm số \(y=\left| f\left( x-2017 \right)+2018 \right|\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Tìm các số thực \(x\,,\,y\) thỏa mãn \(x+2y+\left( 2x-2y \right)i=7-4i\).
-
Nếu \(\int\limits_{1}^{3}{f\left( x \right)\text{d}x=2}\) thì \(\int\limits_{1}^{3}{3f\left( x \right)\text{d}x}\) bằng
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-8x+10y-6z+49=0\). Tính bán kính R của mặt cầu \(\left( S \right)\).
-
Tính tích phân \(I=\int\limits_{0}^{2}{{{2}^{2018x}}}\text{d}x\).
-
Đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x-3}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng và ngang?
-
Hàm số \(y={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}\) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{1}{2x-1}\) là
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, đường thẳng \(d:\,\left\{ \begin{array}{l} x = - 2 + t\\ y = 1 + 2t\\ z = 5 - 3t \end{array} \right.\left( {t \in R} \right)\) có véc tơ chỉ phương là
-
Tính thể tích V của khối nón có chiều cao h=a và bán kính đáy \(r=a\sqrt{3}\).
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1. Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD). Tính khoảng cách d từ A đến (SCD).
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 1;1;1 \right)\) và \(I\left( 1;2;3 \right).\) Phương trình của mặt cầu tâm I và đi qua A là
-
Thể tích của khối trụ có chu vi đáy bằng \(4\pi a\) và độ dài đường cao bằng a là
-
Tập hợp tất cả các số thực m để phương trình \({{\log }_{2}}x=m\) có nghiệm là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \({f}'\left( x \right)={{\left( x+1 \right)}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{3}}\left( 2x+3 \right),\,\forall x\in \mathbb{R}\). Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=-{{x}^{3}}+3x+1\) trên đoạn \(\left[ 0;2 \right]\) bằng
-
Có 3 bó hoa. Bó thứ nhất có 8 bông hoa hồng, bó thứ hai có 7 bông hoa ly, bó thứ ba có 6 bông hoa huệ. Chọn ngẫu nhiên 7 bông từ ba bó hoa trên để cắm vào lọ. Xác suất để 7 bông hoa được chọn có số hoa hồng bằng số hoa ly là:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và không có cực trị, đồ thị của hàm số \(y=f\left( x \right)\) là đường cong của hình vẽ bên. Xét hàm số \(h\left( x \right)=\frac{1}{2}{{\left[ f\left( x \right) \right]}^{2}}-2x.f\left( x \right)+2{{x}^{2}}\). Mệnh đề nào sau đây đúng?
.jpg.png)
-
Cho \(\int\limits_{0}^{1}{\frac{{{x}^{2}}+2x}{{{\left( x+3 \right)}^{2}}}dx}=\frac{a}{4}-4\ln \frac{4}{b}\) với \(a,\,\,b\) là các số nguyên dương. Giá trị của a+b bằng
-
Cho 4 điểm \(A\left( -2;-1;3 \right), B\left( 2;3;1 \right), C\left( 1;2;3 \right), D\left( -4;1;3 \right)\). Hỏi có bao nhiêu điểm trong bốn điểm đã cho thuộc mặt phẳng \(\left( \alpha \right):x+y+3z-6=0\)?
