Phương trình \(2{x^2} - 6x + 4 = 3\sqrt {{x^3} + 8} \) có hai nghiệm dạng \(x = a \pm b\sqrt {13} \) với \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính \({a^2} - b\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện: \({x^3} + 8 \ge 0 \Leftrightarrow {x^3} \ge {( - 2)^3} \Leftrightarrow x \ge - 2\).
Phương trình tương đương:
\(2\left( {{x^2} - 2x + 4} \right) - 2(x + 2) - 3\sqrt {(x + 2)\left( {{x^2} - 2x + 4} \right)} = 0.\)
Chia hai vế phương trình cho \({x^2} - 2x + 4\) (với \({x^2} - 2x + 4 = {(x - 1)^2} + 3 \ne 0,\forall x \in \mathbb{R}\)), ta được: \(2 - 2\left( {\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 2x + 4}}} \right) - 3\sqrt {\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 2x + 4}}} = 0\).
Đặt \(t = \sqrt {\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 2x + 4}}} (t \ge 0)\).
Phương trình trở thành: \(2 - 2{t^2} - 3t = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = \frac{1}{2}{\rm{ (n) }}}\\{t = - 2{\rm{ (l) }}}\end{array}} \right.\).
Với \(t = \frac{1}{2}\) thì \(\sqrt {\frac{{x + 2}}{{{x^2} - 2x + 4}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow 4(x + 2) = {x^2} - 2x + 4 \Leftrightarrow x = 3 \pm \sqrt {13} \) (nhận).
Do vậy: \(a = 3,b = 1 \Rightarrow {a^2} - b = 8\).
Đáp án C.
Đề thi giữa HK2 môn Toán 10 CTST năm 2023-2024
Trường THPT Nguyễn Văn Linh
Câu hỏi liên quan
-
Xác định \(m\) để với mọi \(x\), ta có \( - 1 \le \frac{{{x^2} + 5x + m}}{{2{x^2} - 3x + 2}} < 7\)?
-
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho \(\vec a = (1;2),\vec b = (3; - 3)\). Toạ độ của vectơ \(\vec c = 3\vec a - 2\vec b\) là?
-
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho hai điểm \(A( - 4;6)\) và \(B( - 2;4)\). Phương trình đường tròn có đường kính \(AB\) là?
-
Cho các vectơ \(\vec a = (1; - 2),\vec b = ( - 2; - 6),\vec c = (m + n; - m - 4n)\). Tìm góc tạo bởi hai vectơ \(\vec a,\vec b\)?
-
Cho phương trình \(\sqrt {{x^4} - 3{x^2} + 2} = {x^2} + 2\). Nếu đặt \(t = {x^2},t \ge 0\) thì phương trình đã cho trở thành phương trình nào sau đây?
-
Góc giữa hai đường thẳng \({\Delta _1}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + t}\\{y = - 1 + \sqrt 3 t}\end{array}} \right.\) và \({\Delta _2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - \sqrt 3 t}\\{y = 5 - t}\end{array}} \right.\) là?
-
Số nghiệm của phương trình \(\sqrt {{x^2} - 4|x| + 3} = 2x - 1\) là?
-
Giải phương trình sau: \(\sqrt {2{x^2} + 5} = \sqrt {{x^2} - x + 11} \)?
-
Điều kiện để tam thức bậc hai \(a{x^2} + bx + c(a \ne 0)\) nhận giá trị âm với mọi \(x \in \mathbb{R}\) là?
-
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) cho các vectơ \(\vec a,\vec b,\vec c,\vec d\) được vẽ ở hình bên. Ta có các khẳng định sau:
A) \(\vec a = (2; - 3)\); B) \(\vec b = ( - 3;0)\); C) \(\vec c = (5;1)\); D) \(\vec d = (4;0)\).
Số khẳng định đúng là?
-
Với giá trị nào của \(m\) thì bất phương trình \( - {x^2} - x + m \ge 0\) vô nghiệm?
-
Nghiệm của bất phương trình \({x^2} - 8x + 15 \le 0\) là?
-
Một vật chuyển động có vận tốc (mét/giây) được biểu diễn theo thời gian \(t\) (giây) bằng công thức \(v(t) = \frac{1}{2}{t^2} - 4t + 10\). Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu giây thì vận tốc của vật không bé hơn \(10\;m/s\) (biết rằng \(t > 0\))?
-
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M(2;1)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u( - 1;4)\) là?
-
Trong mặt phẳng toạ độ \(Oxy\), cho ba điểm \(A(5;2),B(5; - 2),C(4; - 3)\). Đường thẳng đi qua điểm \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) có phương trình là?
-
Bất phương trình \({x^2} - (m + 2)x + m + 2 \le 0\) vô nghiệm khi và chỉ khi?
-
Giá trị nào của \(m\) thì phương trình \((m - 3){x^2} + (m + 3)x - (m + 1) = 0\) có hai nghiệm phân biệt?
-
Bảng xét dấu sau đây là của tam thức bậc hai nào?
.PNG)
-
Đường tròn nào sau đây có tâm là \(I( - 3;5)\) và có bán kính là \(R = 4\)?
-
Một đường hầm xuyên thẳng qua núi và có mặt cắt là một parabol (thông số như hình bên). Giả sử một chiếc xe tải có chiều ngang \(6\;m\) đi vào vị trí chính giữa miệng hầm. Hỏi chiều cao \(h\) của xe tải cần thoả mãn điều kiện gì để có thể đi vào cửa hầm mà không chạm tường?
.PNG)
