Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AD \bot \left( {ABC} \right),\;ABC\) có tam giác vuông tại \(B.\) Biết \(BC = 2a,\;\;AB = 2a\sqrt 3 ,\;\;AD = 6a.\) Quay tam giác \(ABC\) và \(ABD\) (bao gồm cả điểm bên trong 2 tam giác) xung quanh đường thẳng \(AB\) ta được hai khối tròn xoay. Thể tích phần chung của 2 khối tròn xoay đó bằng:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
Khối nón \(\left( {{N_1}} \right)\) được sinh bởi \(\Delta ABC\) khi quay quanh \(AB\) có chiều cao \({h_1} = AB\) và bán kính đáy \({R_1} = BC.\)
Khối nón \(\left( {{N_2}} \right)\) được sinh bởi \(\Delta ADB\) khi quay quanh \(AB\) có chiều cao \({h_2} = AB\) và bán kính đáy \({R_2} = AD.\)
.JPG)
Do hai khối nón cùng có chiều cao AB nên hai đáy của hai khối nón nằm trong hai mặt phẳng song song.
Trong mặt phẳng đáy của khối nón \(\left( {{N_1}} \right)\) kẻ đường kính GH // DE. Dễ dàng chứng minh dược DEGH là hình thang cân.
Gọi \(M = AG \cap BE;\,\,N = AH \cap BD\), \(I = AB \cap MN\).
Khi đó phần chung giữa hai khối nón \(\left( {{N_1}} \right)\) và \(\left( {{N_2}} \right)\) là hai khối nón:
+) Khối nón \(\left( {{N_3}} \right)\) đỉnh B, đường cao BI, bán kính đáy IN\( \Rightarrow {V_3} = \dfrac{1}{3}\pi .I{N^2}.BI\)
+) Khối nón \(\left( {{N_4}} \right)\) đỉnh A, đường cao AI, bán kính đáy IN \( \Rightarrow {V_4} = \dfrac{1}{3}\pi I{N^2}.AI\)
\( \Rightarrow \) Thể tích phần chung \(V = {V_3} + {V_4} = \dfrac{1}{3}\pi .I{N^2}.BI + \dfrac{1}{3}\pi I{N^2}.AI = \dfrac{1}{3}\pi I{N^2}\left( {AI + BI} \right) = \dfrac{1}{3}\pi .I{N^2}.AB\)
Áp dụng định lí Ta-lét ta có:
\(\begin{align}\frac{MN}{GH}=\frac{AI}{AB};\,\,\frac{MN}{DE}=\frac{BI}{AB}\Rightarrow \frac{MN}{GH}+\frac{MN}{DE}=\frac{AI+BI}{AB}=1 \\ \Rightarrow MN\left( \frac{1}{2BC}+\frac{1}{2AD} \right)=1\Leftrightarrow MN.\left( \frac{1}{2.2a}+\frac{1}{2.6a} \right)=1\Leftrightarrow MN=3a \\ \end{align}\)
Dễ thấy I là trung điểm của MN \( \Rightarrow IN = \dfrac{{MN}}{2} = \dfrac{{3a}}{2}\).
Vậy \(V = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{3a}}{2}} \right)^2}.2a\sqrt 3 = \dfrac{{3\sqrt 3 \pi {a^3}}}{2}\).
Chọn B.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Trần Khai Nguyên
Câu hỏi liên quan
-
Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số \(f\left( x \right) = 6\sqrt {{x^2} - 6x + 12} + 6x - {x^2} - 4\). Tính tích các nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = M\).
-
Một khối trụ có thiết diện qua một trục là một hình vuông. Biết diện tích xung quanh của khối trụ bằng \(16\pi \). Thể tích \(V\) của khối trụ bằng:
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn \(\left[ { - 2018;2018} \right]\) để phương trình \({\left( {x + 2 - \sqrt {{x^2} + 1} } \right)^2} + \dfrac{{18\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }}{{x + 2 + \sqrt {{x^2} + 1} }} = m\left( {{x^2} + 1} \right)\) có nghiệm thực?
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên R, có đạo hàm \(f'\left( x \right)\). Biết rằng đồ thị hàm số \(f'\left( x \right)\) như hình vẽ. Xác định điểm cực đại của hàm số \(g\left( x \right) = f\left( x \right) + x\).
.JPG)
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) cho \(\overrightarrow a = \left( {1; - 2;3} \right)\) và \(\overrightarrow b = \left( {2; - 1; - 1} \right).\) Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^3} + 3{x^2} - 2 = m\) có hai nghiệm phân biệt.
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số: \(y = {x^8} + \left( {m + 1} \right){x^5} - \left( {{m^2} - 1} \right){x^4} + 1\) đạt cực tiểu tại \(x = 0?\)
-
Cho x là số thực dương, khai triển nhị thức \({\left( {{x^2} + \dfrac{1}{x}} \right)^{12}}\) ta có hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) bằng 792. Giá trị của m là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có \(f'\left( x \right) > 0\,\,\forall x \in R\). Tìm tập hợp tất cả các giá trị thực của x để \(f\left( {\dfrac{1}{x}} \right) < f\left( 1 \right)\).
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba mặt phẳng \(\left( P \right):\,\,x - 2y + z - 1 = 0\); \(\left( Q \right):\,\,x - 2y + z + 8 = 0;\,\,\left( R \right):\,\,x - 2y + z - 4 = 0\). Một đường thẳng d thay đổi cắt ba mặt \(\left( P \right),\,\,\left( Q \right),\,\,\left( R \right)\) lần lượt tại A, B, C. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T = A{B^2} + \dfrac{{144}}{{A{C^2}}}\).
-
Tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để hàm số \(y = \dfrac{{4x + 7}}{{{{\log }_{2018}}\left( {{x^2} - 2x + {m^2} - 6m + 10} \right)}}\) xác định với mọi \(x \in R\) là:
-
Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình \({2^{2{x^2} + 5x + 4}} = 4.\)
-
Cho khối nón có bán kính đáy là \(r\) , chiều cao \(h\) . Thể tích \(V\) của khối nón đó là:
-
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = 2\) và biểu thức \(20{u_1} - 10{u_2} + {u_3}\) đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm số hạng thứ bảy của cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) ?
-
Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy hình trụ, \(AB = 4a;\,\,AC = 5a\). Tính thể tích khối trụ:
-
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình vuông tâm O, cạnh bên vuông góc với mặt đáy. Gọi M là trung điểm của SA, N là hình chiếu vuông góc của A lên SO. Mệnh đề nào sau đây đúng?
.JPG)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm cấp 2 trên khoảng \(K\) và \({x_0} \in K.\) Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Xác định các hệ số \(a,\;b,\;c\) để đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax - 1}}{{bx + c}}\) có đồ thị hàm số như hình vẽ bên:
-
Một hình lăng trụ tam giác đều có nhiêu mặt phẳng đối xứng?
-
Nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = 4{x^3} + x - 1\) là:
