Cho \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi parabol \(y=\sqrt{3}{{x}^{2}}\), cung tròn có phương trình \(y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\) (với \(0\le x\le 2\)) và trục hoành (phần tô đậm trong hình vẽ). Diện tích của \(\left( H \right)\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn B
Phương trình hoành độ giao điểm của parabol \(y=\sqrt{3}{{x}^{2}}\) và cung tròn \(y=\sqrt{4-{{x}^{2}}}\)
(với \(0\le x\le 2\)) lả \(\sqrt{4-{{x}^{2}}}=\sqrt{3}{{x}^{2}}\)\( \Leftrightarrow 4-{{x}^{2}}=3{{x}^{4}}\Leftrightarrow x=1\).
Diện tích của \(\left( H \right)\) là
\(S=\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{3}{{x}^{2}}dx}+\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}\\ =\frac{\sqrt{3}}{3}{{x}^{3}}\left| \begin{align} & ^{1} \\ & _{0} \\ \end{align} \right.+I\\ =\frac{\sqrt{3}}{3}+I\) với \(I=\int\limits_{1}^{2}{\sqrt{4-{{x}^{2}}}dx}\).
Đặt \(x=2\sin t\), \(t\in \left[ -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2} \right]\Rightarrow dx=2\cos t.dt\)
Đổi cận \(x=1\Rightarrow t=\frac{\pi }{6}\), \(x=2\Rightarrow t=\frac{\pi }{2}\).
\(I=\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{4-4{{\sin }^{2}}t}.2\cos t.dt}\\ =\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{4{{\cos }^{2}}t.dt}\\ =\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{2}}{2\left( 1+\cos 2t \right).dt}\\ =\left( 2x+\sin 2t \right)\left| \begin{align} & ^{\frac{\pi }{2}} \\ & _{\frac{\pi }{6}} \\ \end{align} \right.\)
\(=\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\)
Vậy \(S=\frac{\sqrt{3}}{3}+I\)\( =\frac{\sqrt{3}}{3}+\frac{2\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}\)\( =\frac{4\pi -\sqrt{3}}{6}\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Phú Lâm
Câu hỏi liên quan
-
Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số: \(y={{x}^{3}}-3x\), \(y=x\). Tính S.=
-
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(BCD.\) Cặp đường thẳng nào sau đây cắt nhau?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên đoạn \(\text{ }\!\![\!\!\text{ }-1;\,2]\) và \(f\left( -1 \right)=2023,\,f\left( 2 \right)=-1. \)Tích phân \(\int\limits_{-1}^{2}{{f}'\left( x \right)\text{d}x}\)bằng:
-
Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy \(S=2{{a}^{2}}\), chiều cao \(h=6a\) là:
-
Trong không gian \(Oxyz\), phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) song song và cách đều hai đường thẳng \({{d}_{1}}:\frac{x-2}{-1}=\frac{y}{1}=\frac{z}{1}\) và \({{d}_{2}}:\frac{x}{2}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-2}{-1}\) là
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{3}^{{{x}^{2}}-13}}<27\) là
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(I\left( 1;-2;3 \right).\) Viết phương trình mặt cầu tâm I, cắt trục Ox tại hai điểm A và B sao cho \(AB=2\sqrt{3}.\)
-
Cho \(I=\int\limits_{1}^{2}{\frac{{{x}^{2}}+{{\left( x+\ln x \right)}^{2}}+x}{{{x}^{2}}{{\left( x+\ln x \right)}^{2}}}\text{d}x}=\frac{a}{2}-\frac{1}{b+\ln c}\) với \(a\), \(b\), \(c\) là các số nguyên dương. Khẳng định nào sau đây đúng ?
-
Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau:
-
Nghiệm của phương trình \({{\log }_{3}}\left( 2x+1 \right)=1+{{\log }_{3}}\left( x-1 \right)\) là
-
Hàm số nào dưới đây có bảng biến thiên như sau:
-
Cho hai đường thẳng chéo nhau \(a\) và \(b\). Lấy hai điểm \(A,B\) phân biệt thuộc \(a\) và hai điểm \(C,D\) phân biệt thuộc \(b\). Khi đó hai đường thẳng \(A\text{D}\) và \(BC\) ở vị trí
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=2+i,{{z}_{2}}=1-2i.\) Môđun của số phức \(w=\frac{z_{1}^{2022}}{z_{2}^{2023}}\) là
-
Cho tam giác \(ABC\)có trọng tâm \(G\). Mệnh đề nào sau đây là mệnh đề SAI?
-
Hàm số nào sau đây đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
-
Số giao điểm của đồ thị \((C):y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+2x+1\) và đường thẳng \(y=1\) là
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy là tam giác \(ABC\) vuông cân tại \(C\) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Cho \(SC=a\), mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) tạo với mặt đáy một góc \(\alpha \). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) đạt giá trị lớn nhất là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm\(f'\left( x \right)=x\left( x-1 \right){{\left( x+4 \right)}^{2023}},\,\forall x\in \mathbb{R}\) . Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=16\) và điểm \(A\left( -1;-1;-1 \right).\) Xét các điểm M thuộc \(\left( S \right)\)sao cho đường thẳng AM tiếp xúc với \(\left( S \right).\) M luôn thuộc một mặt phẳng cố định có phương trình là
-
Đặt \(a={{\log }_{2}}5,\,b={{\log }_{3}}5\). Hãy biểu diễn \({{\log }_{6}}5\)theo \(a\) và \(b\).
