Cho lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy là tam giác đều và \(A'A=A'B=A'C.\) Biết rằng các cạnh bên của lăng trụ tạo với đáy một góc \({{60}^{0}}\) và khoảng cách giữa đường thẳng \(AA'\) và mặt phẳng \(\left( BCC'B' \right)\) bằng 1. Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
* Gọi \(H\) là trung điểm \(BC,O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC.\)
Vì \(A'A=A'B=A'C\) nên hình chiếu của \(A'\) lên \(\left( ABC \right)\) là điểm \(O\) hay \(A'O\bot \left( ABC \right).\)
Gọi \(E\) là điểm sao cho \(BCAE\) là hình bình hành.
\(\Leftrightarrow d\left( AA';\left( BCC'B' \right) \right)=d\left( \left( AA'E \right);\left( BCC'B' \right) \right)=d\left( H;\left( AA'E \right) \right).\)
* Gọi \(K\) là hình chiếu của \(O\) lên \(AA'.\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l} A'O \bot AE\\ A'O \bot AE \end{array} \right. \Rightarrow \left( {AA'O} \right) \bot AE \Rightarrow OK \bot AE\)
\(\Rightarrow OK\bot \left( AA'E \right).\)
* Ta có: \(\frac{d\left( O;\left( A'AE \right) \right)}{d\left( H;\left( A'AE \right) \right)}=\frac{OK}{d\left( H;\left( A'AE \right) \right)}=\frac{AO}{AH}=\frac{2}{3}\Rightarrow OK=\frac{2}{3}.\)
* Góc giữa \(AA'\) và \(\left( ABC \right)\) là góc giữa \(AA'\) và \(AO\) bằng \({{60}^{0}}.\)
\(\Rightarrow AO=\frac{OK}{\sin {{60}^{0}}}=\frac{4}{3\sqrt{3}}=\frac{AB\sqrt{3}}{3}\Rightarrow AB=\frac{4}{3}.\)
* \(A'O=AO.\tan {{60}^{0}}=\frac{4}{3}.\)
Vậy \(V=A'O.{{S}_{ABC}}=\frac{4}{3}.\frac{{{\left( \frac{4}{3} \right)}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{16\sqrt{3}}{27}.\)
Câu hỏi liên quan
-
Tập nghiệm của bất phương trình \({{\log }_{2}}\left( x\sqrt{{{x}^{2}}+2}+4-{{x}^{2}} \right)+2x+\sqrt{{{x}^{2}}+2}\le 1\) là \(\left( -\sqrt{a};-\sqrt{b} \right].\)
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên \(m\) để hàm số \(y={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}-mx+4\) có hai điểm cực trị thuộc khoảng \(\left( -3;3 \right)?\)
-
Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị hàm số \(y=f'\left( x \right)\) như hình vẽ
.jpg.png)
Hàm số \(y=f\left( 1-x \right)+\frac{{{x}^{2}}}{2}-x\) nghịch biến trên khoảng
-
Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để hàm số \(y=\left( m-1 \right){{x}^{3}}-3\left( m-1 \right){{x}^{2}}+3x+2\) đồng biến trên \(\mathbb{R}.\)
-
Cho parabol \(\left( P \right):y=-{{x}^{2}}\) và đồ thị hàm số \(y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx-2\) có đồ thị như hình vẽ. Tính giá trị của biểu thức \(P=a-3b-5c.\)
.jpg.png)
-
Cho các số thực dương \(x,y,z\) và thỏa mãn \(x+y+z=3.\) Biểu thức \(P={{x}^{4}}+{{y}^{4}}+8{{z}^{4}}\) đạt GTNN bằng \(\frac{a}{b},\) trong đó \(a,b\) là các số tự nhiên dương, \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Tính \(a-b.\)
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để đoạn \(\left[ -\frac{2\pi }{3};\frac{\pi }{3} \right]\) là tập hợp con của tập nghiệm bất phương trình \({{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( {{\cos }^{2}}x+1 \right)<{{\log }_{\frac{1}{5}}}\left( {{\cos }^{2}}x+4\cos x+m \right)+1.\)
-
Cho phương trình:
\({{2}^{-\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|}}.{{\log }_{81}}\left( \left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|+2 \right)+{{2}^{-\left| \left| {{x}^{3}} \right|-3{{x}^{2}}+1 \right|-2}}.{{\log }_{3}}\left( \frac{1}{\left| \left| {{m}^{3}} \right|-3{{m}^{2}}+1 \right|+2} \right)=0\)
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) nguyên để phương trình đã cho có 6 nghiệm hoặc 7 nghiệm hoặc 8 nghiệm. Tính tổng bình phương tất cả các phần tử của tập \(S.\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)={{x}^{3}}{{\left( x-1 \right)}^{2}}\left( x+2 \right).\) Hỏi hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bao nhiêu điểm cực trị?
-
Tổng diện tích các mặt của một hình lập phương bằng 96. Tính thể tích của khối lập phương đó là?
-
Ông An gửi 320triệu đồng vào ngân hàng ACB và VietinBank theo phương thức lãi kép. Số tiền thứ nhất gửi vào ngân hàng ACB với lãi suất 2,1% một quý trong thời gian 15 tháng. Số tiền còn lại gửi vào ngân hàng VietinBank với lãi suất 0,73% một tháng trong thời gian 9 tháng. Biết tổng số tiền lãi ông An nhận được ở hai ngân hàng là 26670725,95 đồng. Hỏi số tiền ông An lần lượt ở hai ngân hàng ACB và VietinBank là bao nhiêu (số tiền được làm tròn tới hàng đơn vị)?
-
Hàm số nào sau đây nghịch biến trên từng khoảng xác định của nó?
-
Cho \(a,b,c\) là các số thực khác 0 thỏa mãn \({{4}^{a}}={{25}^{b}}={{10}^{c}}.\) Tính giá trị biểu thức \(A=\frac{c}{a}+\frac{c}{b}.\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.png)
Đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\) có tổng số bao nhiêu tiệm cận (chỉ xét các tiệm cận đúng và ngang)?
-
Cho hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) có cạnh bằng 1. Cắt hình lập phương bằng một mặt phẳng đi qua đường chéo \(BD'\). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích thiết diện thu được.
-
Giá trị của tổng \(S=C_{3}^{3}+C_{4}^{3}+...+C_{100}^{3}\) bằng
-
Cho biểu thức \(P=\sqrt[4]{x\sqrt[3]{{{x}^{2}}.\sqrt[3]{x}}},x>0.\) Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
-
Một hình lập phương có cạnh 4cm. Người ta sơn đỏ mặt ngoài của hình lập phương rồi cắt hình lập phương bằng các mặt phẳng song song với các mặt của hình lập phương thành 64 hình lập phương nhỏ có cạnh 1cm. Có bao nhiêu hình lập phương có đúng một mặt được sơn đỏ?
-
Tập xác định của hàm số \(y={{\log }_{2}}\left( {{x}^{2}}-2x \right)\) là
-
Giả sử trong trận chung kết AFF Cup 2018, đội tuyển Việt Nam phải phân định thắng thua trên chấm đá phạt 11 m. Biết xác suất để mỗi cầu thủ Việt Nam thực hiện thành công quả đá 11 m của mình đều là 0,8. Gọi \(P\) là xác suất để đội tuyển Việt Nam thực hiện thành công từ 4 quả trở lên trong 5 lượt sút đầu tiên. Khẳng định nào sau đây đúng?
