Cho khối tứ diện ABCD có AB, AC', AD đôi một vuông góc với nhau và \(AB = a,AC = 2a,AD = 3a.\) Các điểm M, N, P thứ tự thuộc các cạnh AB, AC, AD sao cho \(2AM = MB,AN = 2NC,AP = PD.\) Tính thể tích khối tứ diện AMNP ?

Tập xác định của hàm số \(y = \frac{{6 - \tan x}}{{5\sin x}}\) là:

Cho hàm số \(y = {x^3} - 6{x^2} + 9x\) có đồ thị như Hình 1. Đồ thị Hình 2 là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

Tổng các nghiệm thuộc khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) của phương trình \(4{\sin ^2}2x - 1 = 0\) bằng:

Cho \(F(x)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin 2x\) và \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1.\) Tính \(F\left( {\frac{\pi }{6}} \right)?\)

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm \(A\left( {1;2; - 1} \right),B\left( {2;1;1} \right),C\left( {0;1;2} \right).\) Gọi điểm \(H\left( {x;y;z} \right)\) là trực tâm tam giác ABC. Giá trị của \(S = x + y + z\) là:

Tìm tập xác định D của hàm số \({\rm{y}} = {\log _3}({{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} + 8)\).

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác đều cạnh a, hình chiếu vuông góc H của A’ trên mặt phẳng (ABC) trùng với trực tâm của tam giác ABC. Tất cả các cạnh bên đều tạo với mặt phẳng đáy góc \(60^0\). Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Hệ số của số hạng chứa \(x^3\) trong khai triển \({\left( {\frac{1}{x} + {x^3}} \right)^9}\) (với \(x \ne 0)\) bằng

Cho hàm số \(y = {x^4} - 2{x^2} - 3\) có đồ thị hàm số như hình bên dưới. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình \({x^4} - 2{x^2} - 3 - 2m = 0\) có hai nghiệm phân biệt?

Trong không gian Oxyz, khoảng cách giữa hai mặt phẳng \((P): x + 2y + 2z - 10 = 0\) và \(\left( Q \right):x + 2y + 2z - 3 = 0\) bằng:

Cho mặt cầu (S) có diện tích \(4\pi {a^2}\left( {c{m^2}} \right).\) Khi đó, thể tích khối cầu (S) là:

Trong không gian Oxyz, phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \(B\left( {2;1; - 3} \right),\) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( Q \right):x + y + 3z = 0\) và \(\left( R \right):2x - y + z = 0\) là:

Đồ thị sau đây của hàm số nào?

Cho hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + {m^4} + 2m\). Tìm tất cả các giá trị của m để các điểm cực trị của đồ thị hàm số lập thành một tam giác đều.

Cho khối trụ có độ dài đường sinh bằng a và bán kính đáy bằng R. Tính thể tích của khối trụ đã cho?

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) có đồ thị (C) Tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục tung có phương trình là:

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số \(\left( H \right):y = \frac{{x - 1}}{{x + 1}}\) và các trục tọa độ. Khi đó giá trị của S bằng:

Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(s(t) = {t^3} - 3{t^2} - \frac{2}{5}t + 3\), (thời gian tính bằng giây, quãng đường tính bằng m). Khẳng định nào sau đây đúng

Cho \(\int\limits_0^1 {\frac{{d{\rm{x}}}}{{\sqrt {x + 2}  + \sqrt {x + 1} }}}  = a\sqrt b  - \frac{8}{3}\sqrt a  + \frac{2}{3}\left( {a,b \in {R^*}} \right).\) Tính \(a + 2b\)?

Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần \(S_{tp}\) của hình trụ đó.