Cho khối lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy \(ABC\) là tam giác vuông cân tại \(C\), \(AB=2a\) và góc tạo bởi hai mặt phẳng \(\left( AB{C}' \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng \(60{}^\circ \). Gọi \(M,N\) lần lượt là trung điểm của \({A}'{C}'\) và \(BC\). Mặt phẳng \(\left( AMN \right)\) chia khối lăng trụ thành hai phần. Thể tích của phần nhỏ bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiChọn A
.PNG)
Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\), suy ra \(AB\bot \left( CI{C}' \right)\) nên góc giữa \(\left( {C}'AB \right)\) và \(\left( ABC \right)\) là góc \(\left( CI,{C}'I \right)\), suy ra \(\widehat{{C}'IC}=60{}^\circ \).
Tam giác \({C}'IC\) vuông tại \(C\) nên \({C}'C=CI\cdot \tan \widehat{{C}'IC}=\frac{AB}{2}\cdot \tan 60{}^\circ =a\sqrt{3}\).
Diện tích tam giác \(ABC\) là \({{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CI={{a}^{2}}\).
Thể tích khối lăng trụ là \(V=C{C}'\cdot {{S}_{ABC}}=a\sqrt{3}\cdot {{a}^{2}}={{a}^{3}}\sqrt{3}\).
Trong \(\left( AC{C}'{A}' \right)\), kéo dài \(AM\) cắt \(C{C}'\) tại \(O\).
Suy ra \({C}'M\) là đường trung bình của \(\Delta OAC\), do đó \(OC=2C{C}'=2a\sqrt{3}\).
Thể tích khối chóp \({{V}_{O.ACN}}=\frac{1}{3}\cdot {{S}_{ACN}}\cdot OC=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot {{S}_{ABC}}\cdot 2C{C}'=\frac{1}{3}V\).
Thể tích khối chóp \({{V}_{O.{C}'ME}}=\frac{1}{3}\cdot {{S}_{{C}'ME}}\cdot O{C}'=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{8}{{S}_{{A}'{B}'{C}'}}\cdot O{C}'=\frac{1}{24}V\).
Do đó \({{V}_{{C}'EM.CAN}}={{V}_{O.ACN}}-{{V}_{O.{C}'ME}}=\frac{1}{3}V-\frac{1}{24}V=\frac{7}{24}V=\frac{7}{24}\cdot {{a}^{3}}\sqrt{3}=\frac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}\).
Vậy phần thể tích nhỏ hơn là \({{V}_{{C}'EM.CAN}}=\frac{7\sqrt{3}{{a}^{3}}}{24}\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Lương Văn Can
Câu hỏi liên quan
-
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left| z+1 \right|\ge 1\). Gọi giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left| \frac{\left( 1+i \right)z+i+2}{z+1} \right|\) lần lượt là \(M\) và \(m\). Khi đó giá trị của \(\left( {{M}^{2}}+{{m}^{2}} \right)\) bằng:
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho điểm \(A\left( 1;1;-2 \right)\) và đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{-2}\). Đường thẳng qua \(A\) và song song với \(d\) có phương trình tham số là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f\left( 0 \right)=\frac{2}{3}\) và \(\left( \sqrt{x}+\sqrt{x+1} \right).{f}'\left( x \right)=1,\forall x\ge -1\). Biết \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx}=\frac{a\sqrt{2}+b}{15}\) với \(a,b\in \mathbb{Z}\). Tính \(T=a+b\)
-
Biết rằng đồ thị \((H):y=\frac{{{x}^{2}}+2x+m}{x-2}\) có hai điểm cực trị \(A,B\). Hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng \(AB\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\), có đồ thị \({f}'\left( x \right)\) như hình vẽ.
.PNG)
Số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)=f\left( -{{x}^{2}}+x \right)\) là
-
Trong không gian \(Oxyz,\) cho mặt cầu \(\left( S \right):\,{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y+1=0\). Tính diện tích của mặt cầu \((S)\)
-
Cho hình tứ diện đều \(ABCD\) có cạnh bằng \(a\). Gọi \(M\) là trung điểm của cạnh \(AD\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AB\) và \(CM\) theo \(a\).
.PNG)
-
Cho hàm số
\(f\left( x \right)=\left\{ \begin{align} & 3{{x}^{2}}\ln \left( x+1 \right)\text{ khi }x\ge 0 \\ & 2x\sqrt{{{x}^{2}}+3}+1\text{ khi }x<0 \\ \end{align} \right.\).
Biết \(\int\limits_{\frac{1}{e}}^{e}{\frac{f\left( \ln x \right)}{x}dx}=a\sqrt{3}+b\ln 2+c\) với \(a,b,c\in \mathbb{Q}\). Giá trị của \(a+b+6c\) bằng
-
Tập xác định của hàm số \(y={{\left( 2-x \right)}^{\frac{1}{2}}}\)là
-
Cho hình trụ có bán kính đáy bằng \(a\sqrt{3}\). Cắt hình trụ bởi một mặt phẳng song song với trục, cách trục một khoảng bằng a ta được thiết diện là một hình vuông. Thể tích khối trụ đó bằng
-
Cho khối lăng trụ có diện tích đáy bằng \(B=3\) và chiều cao \(h=4\). Thể tích của khối lăng trụ này bằng
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(\log _{3}^{2}x-m{{\log }_{9}}{{x}^{2}}+2-m=0\) có nghiệm \(x\in \left[ 1;9 \right]\).
-
Có 6 học sinh gồm 2 học sinh lớp A, 2 học sinh lớp B và 2 học sinh lớp C xếp ngẫu nhiên thành một hàng ngang. Tính xác suất để nhóm bất kì 3 học sinh liền kề nhau trong hàng luôn có mặt học sinh của 3 lớp A, B, C.
-
Cho số phức \(z=2+i\). Mô đun của số phức \(\text{w}=\overline{z}+3z\) bằng
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( 1;1;-2 \right)\); \(B\left( 2;0;3 \right)\); \(C\left( -2;4;1 \right)\). Mặt phẳng đi qua \(A\) và vuông góc với đường thẳng \(BC\) có phương trình là
-
Xét hàm số \(f\left( x \right)=\left| \frac{mx-2\sqrt{x+4}}{2x+4} \right|\) với \(m\) là tham số thực. Có bao nhiêu số nguyên \(m\) thỏa mãn điều kiện \(0 < \underset{\left[ -1;1 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right) < 1\)?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\), \(SA=1\) và đáy \(ABC\) là tam giác đều với độ dài cạnh bằng 2. Tính góc giữa mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) và mặt phẳng \(\left( ABC \right)\).
-
Cho hình chóp đều \(S.ABCD\) có cạnh đáy bằng \(2a\), cạnh bên bằng \(3a\).
.PNG)
Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left( SCD \right)\) bằng
-
Cho khối cầu có bán kính \(R=6\). Thể tích khối cầu bằng
-
Cho hình trụ có bán kính \(r=2\) và chiều cao \(h=3\). Diện tích xung quanh của hình trụ này bằng
