Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\), khoảng cách từ C đến đường thẳng BB’ bằng 2, khoảng cách từ A đến các đường thẳng BB’ và CC’ lần lượt bằng 1 và \(\sqrt 3 \), hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (A’B’C’) là trung điểm M của B’C’ và A’M = 2. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
Qua M dựng mặt phẳng (P) vuông góc với AA’ cắt các cạnh AA’; BB’; CC’ lần lượt tại N, E, F.
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}AA' \bot NE \Rightarrow NE = d\left( {E;AA'} \right) = d\left( {N;BB'} \right) = d\left( {A;BB'} \right) = 1\\AA' \bot NF \Rightarrow NF = d\left( {F;AA'} \right) = d\left( {N;CC'} \right) = d\left( {A;CC'} \right) = \sqrt 3 \\AA' \bot \left( P \right) \Rightarrow CC' \bot \left( P \right) \Rightarrow CC' \bot EF \Rightarrow EF = d\left( {E;CC'} \right) = d\left( {F;BB'} \right) = d\left( {C;BB'} \right) = 2\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow \Delta NEF\) vuông tại N (Định lí Pytago đảo)
Lại có \(\dfrac{{ME}}{{MF}} = \dfrac{{MB'}}{{MC'}} = 1 \Rightarrow ME = MF\) (định lí Ta-lét) \( \Rightarrow M\) là trung điểm của EF.
\( \Rightarrow MN = \dfrac{1}{2}EF = 1\)
Xét tam giác vuông AA’M có: \(\dfrac{1}{{M{N^2}}} = \dfrac{1}{{A{M^2}}} + \dfrac{1}{{A'{M^2}}} \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{{A{M^2}}} + \dfrac{1}{4} \Rightarrow AM = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}\left( P \right) \bot AA'\\\left( {A'B'C'} \right) \bot AM\end{array} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( P \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AA';AM} \right)} = \widehat {A'MA}\)
\(\cos \widehat {A'MA} = \dfrac{{AM}}{{AA'}} = \dfrac{{\dfrac{2}{{\sqrt 3 }}}}{{\sqrt {\dfrac{4}{3} + 4} }} = \dfrac{1}{2}\)
Dễ thấy tam giác NEF là hình chiếu vuông góc của \(\Delta A'B'C'\) lên mặt phẳng (P)
\( \Rightarrow {S_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{{{S_{\Delta NEF}}}}{{\cos \widehat {A'MA}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}NE.NF}}{{\dfrac{1}{2}}} = 1.\sqrt 3 = \sqrt 3 \)
Vậy thể tích khối lăng trụ là \(V = AM.{S_{\Delta A'B'C'}} = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}.\sqrt 3 = 2\)
Chọn B.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Lê Văn Đẩu
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh \(\sqrt 3 a\) , SA vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA = a\). Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) bằng
-
Ông A dự định sử dụng hết 5m2 kính để làm một bể cá bằng kính có dạng hình hộp chữ nhật không nắp, chiều dài gấp đôi chiều rộng (các mối ghép có kích thước không đáng kể). Bể cá có dung tích lớn nhất bằng bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?
-
Một chất điểm A xuất phát từ O, chuyển động thẳng với vận tốc biến thiên theo thời gian bởi quy luật \(v(t) = \dfrac{1}{{100}}{t^2} + \dfrac{{13}}{{30}}t\left( {m/s} \right)\), trong đó t (giây) là khoảng thời gian tính từ lúc A bắt đầu chuyển động. Từ trạng thái nghỉ, một chất điểm B cũng xuất phát từ O, chuyển động thẳng cùng hướng với A nhưng chậm hơn 10 giây so với A và có gia tốc bằng \(a\left( {m/{s^2}} \right)\) (a là hằng số). Sau khi B xuất phát được 15 giây thì đuổi kịp A. Vận tốc của B tại thời điểm đuổi kịp A bằng
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để hàm số \(y = {x^8} + \left( {m - 4} \right){x^5} - \left( {{m^2} - 16} \right){x^4} + 1\) đạt cực tiểu khi \(x = 0\)?
-
Cho phương trình \({7^x} + m = {\log _7}\left( {x - m} \right)\) với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m \in \left( { - 25;25} \right)\) để phương trình đã cho có nghiệm ?
-
Cho hai hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right)\). Hai hàm số \(y = f'\left( x \right),y = g'\left( x \right)\)có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số \(y = g'\left( x \right)\). Hàm số \(h\left( x \right) = f\left( {x + 3} \right) - g\left( {2x - \dfrac{7}{2}} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
-
Cho hàm số \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 2}}\) có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C). Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A, B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{\left( {x + 3} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 2\) . Tâm của (S) có tọa độ là
-
Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho phương trình \({4^x} - m{.2^{x + 1}} + 2{m^2} - 5 = 0\) có hai nghiệm phân biệt. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
-
Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 4a. Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng
-
Một chiếc bút chì có dạng khối lăng trụ lục giác đều có cạnh đáy 3mm và chiều cao bằng 200 mm. Thân bút chì được làm bằng gỗ và phần lõi được làm bằng than chì. Phần lõi có dạng khối trụ có chiều cao bằng chiều dài của bút và đáy là hình tròn có bán kính 1 mm. Giả định 1 m3 gỗ có giá a (triệu đồng), 1 m3 than chì có giá 9a (triệu đồng). Khi đó nguyên vật liệu làm một bút chì như trên gần nhất với kết quả nào dưới đây?
-
\(\lim \frac{1}{{2n + 7}}\) bằng
-
Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc với nhau, OA = OB = a và OC = 2a. Gọi M là trung điểm của AB. Khoảng cách giữa hai đường thẳng OM và AC bằng
-
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có tâm O. Gọi I là tâm của hình vuông A’B’C’D’ và M là điểm thuộc đoạn thẳng OI sao cho MO = 2MI (tham khảo hình vẽ). Khi đó sin của góc tạo bởi hai mặt phẳng (MC’D’) và (MAB) bằng
.JPG)
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau
.JPG)
Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho \(\int\limits_1^e {\left( {1 + x\ln x} \right)dx = a{e^2} + be + c} \) với a, b, c là các số hữu tỉ. Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = {x^3} + 3{x^2}\;\)trên đoạn \(\left[ { - 4; - 1} \right]\) bằng
-
Cho a > 0, b > 0 thoả mãn \({\log _{4a + 5b + 1}}\left( {16{a^2} + {b^2} + 1} \right) + {\log _{8ab + 1}}\left( {4a + 5b + 1} \right) = 2\). Giá trị của a + 2b bằng
-
Trong không gian Oxyz, cho 3 điểm A(-1;1;1), B(2;1;0) và C(1;-1;2). Mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC có phương trình là
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\\z = 3\end{array} \right.\). Gọi ∆ là đường thẳng đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vecto chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {0; - 7; - 1} \right)\). Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và ∆ có phương trình là
