Cho hình lăng trụ tứ giác đều \(ABCD.{{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\) cạnh đáy bằng 1 và chiều cao bằng x. Tìm x để góc tạo bởi đường thẳng \({{B}_{1}}D\) và \(\left( {{B}_{1}}{{D}_{1}}C \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
Gọi O, \({{O}_{1}}\) lần lượt là tâm hình vuông ABCD và \({{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}}\); I là trung điểm của \(O{{O}_{1}}; H\) là hình chiếu vuông góc của I trên \({{O}_{1}}C\).
Ta có \({{B}_{1}}{{D}_{1}}\bot \left( {{O}_{1}}IH \right) \Rightarrow IH\bot {{B}_{1}}{{D}_{1}}\) mà \(IH\bot {{O}_{1}}C \Rightarrow IH\bot \left( {{B}_{1}}{{D}_{1}}C \right)\). Suy ra góc tạo bởi đường thẳng \({{B}_{1}}D\) và \(\left( {{B}_{1}}{{D}_{1}}C \right)\) là \(\varphi =\widehat{I{{B}_{1}}H}\).
Ta có \({{B}_{1}}I=\frac{{{B}_{1}}D}{2} =\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}{2}; \frac{1}{4I{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{O}_{1}}{{O}^{2}}}+\frac{1}{O{{C}^{2}}}=\frac{1}{{{x}^{2}}}+2 \Rightarrow IH=\frac{x}{2\sqrt{2{{x}^{2}}+1}}\).
Suy ra \(\tan \varphi =\frac{IH}{{{B}_{1}}I}=\frac{\frac{x}{2\sqrt{2{{x}^{2}}+1}}}{\frac{\sqrt{{{x}^{2}}+2}}{2}}=\frac{x}{\sqrt{2{{x}^{2}}+1}\sqrt{{{x}^{2}}+2}}\)
Do \(2{{x}^{2}}+1\ge 3\sqrt[3]{{{x}^{4}}}\) và \({{x}^{2}}+2\ge 3\sqrt[3]{{{x}^{2}}}\) nên \(\tan \varphi \le \frac{1}{3}\). Đẳng thức xảy ra khi x=1.
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Dương Văn Thì
Câu hỏi liên quan
-
Biết \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=\frac{x}{\sqrt{8-{{x}^{2}}}}\) thoả mãn \(F\left( 2 \right)=0\). Khi đó phương trình \(F\left( x \right)=x\) có nghiệm là
-
Gọi \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) là hai nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}-2z+6=0\). Trong đó \({{z}_{1}}\) có phần ảo âm. Giá trị biểu thức \(M=|{{z}_{1}}|+|3{{z}_{1}}-{{z}_{2}}|\) là:
-
Khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a. SA=SB=SC=a, Cạnh SD thay đổi. Thể tích lớn nhất của khối chóp S.ABCD là:
-
Tìm tập xác định D của hàm số \(y={{\left( 2x-1 \right)}^{-2}}\)
-
Cho V là thể tích khối nón tròn xoay có bán kính đáy r và chiều cao h. V được cho bởi công thức nào sau đây:
-
Cắt khối lăng trụ \(MNP.{M}'{N}'{P}'\) bởi các mặt phẳng \(\left( M{N}'{P}' \right)\) và \(\left( MN{P}' \right)\) ta được những khối đa diện nào?
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có \(AB=1,AC=2,A{A}'=3\) và \(\widehat{BAC}=120{}^\circ \). Gọi M, N lần lượt là các điểm trên cạnh \(B{B}', C{C}'\) sao cho \(BM=3{B}'M, CN=2{C}'N\). Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng \(\left( A'BN \right)\).
-
Tập giá trị của hàm số \(y={{a}^{x}}\,\,\,(a>0;a\ne 1)\) là:
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right):2x-3z+2=0\). Vectơ nào dưới đây là vectơ pháp tuyến của \(\left( \alpha \right)\)?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x-2}{1}=\frac{y+3}{2}=\frac{z-1}{3}\). Viết phương trình đường thẳng \({d}'\) là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng \(\left( Oyz \right)\).
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x}{1}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+2}{3}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x+2y-2z+3=0.\) Tìm tọa độ điểm M có tọa độ âm thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến \(\left( P \right)\) bằng 2.
-
Cho hình chóp đều S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông cạnh a, các cạnh bên tạo với đáy góc \(45{}^\circ \). Diện tích toàn phần của hình chóp trên theo a là.
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho hàm số \(y=\frac{mx+4}{x+m}\) giảm trên khoảng \(\left( -\infty ;1 \right)\)?
-
Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z+1-i \right|=\left| z-3i \right|\). Tính môđun nhỏ nhất của z-i.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( -2;\,1;\,1 \right)\) và \(B\left( 0;\,-1;\,1 \right).\) Viết phương trình mặt cầu đường kính AB
-
Cho hình trụ có hai đường tròn đáy \(\left( O;R \right)\) và \(\left( {O}';R \right)\), chiều cao \(h=\sqrt{3}R\). Đoạn thẳng AB có hai đầu mút nằm trên hai đường tròn đáy hình trụ sao cho góc hợp bởi AB và trục của hình trụ là \(\alpha =30{}^\circ \). Thể tích tứ diện \(ABO{O}'\) là:
-
Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?
-
Xét các số tự nhiên gồm 5 chữ số khác nhau được lập từ các số 1, 3, 5, 7, 9. Tính xác suất để tìm được một số không bắt đầu bởi 135.
-
Cho hai điểm \(A\left( 1;2;1 \right)\) và \(B\left( 4;5;-2 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right)\) có phương trình 3x-4y+5z+6=0. Đường thẳng AB cắt \(\left( P \right)\) tại điểm M. Tính tỷ số \(\frac{MB}{MA}\).
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên dưới đây.
.PNG)
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
