Cho hình lăng trụ \({ABC.A'B'C'}\) có \(A{A}'=A{B}'=A{C}'\). Tam giác \({ABC}\) vuông cân tại \({A}\) có \({BC=2a}\). Khoảng cách từ \({A}'\) đến mặt phẳng \(\left( BC{C}'{B}' \right)\) là \(\frac{a\sqrt{3}}{3}\). Tính thể tích khối lăng trụ đã cho.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Gọi \(H\)là trung điểm \({B}'{C}'\). Vì tam giác \({A}'{B}'{C}'\)là tam giác vuông cân tại \({A}'\) nên \(H\)là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \({A}'{B}'{C}'\).
Mặt khác \(A{A}'=A{B}'=A{C}'\), từ đó suy ra \(A,\,\,H\)cách đều 3 điểm \({A}',\,\,{B}',\,\,{C}'\) hay \(AH\bot \left( {A}'{B}'{C}' \right)\).
Gọi \(I\)là trung điểm của \(BC\) khi đó \(AI\bot BC\,\,\left( 1 \right)\)
Mà \({B}'{C}'\bot AH\) và \(BC\)//\({B}'{C}'\) suy ra \(BC\bot AH\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) ta suy ra \(BC\bot \left( AHI \right)\Rightarrow \left( BC{C}'{B}' \right)\bot \left( AHI \right)\) theo giao tuyến là HI \(\left( 3 \right)\)
Kẻ \(AK\bot HI\), ta được \(AK\bot \left( BC{C}'{B}' \right)\) hay \(d\left( {A}',\,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=d\left( A,\,\left( BC{C}'{B}' \right) \right)=AK=\frac{a\sqrt{3}}{3}\)
Xét tam giác \(AIH\) vuông tại A, ta được \(\frac{1}{A{{H}^{2}}}=\frac{1}{A{{K}^{2}}}-\frac{1}{A{{I}^{2}}}=\frac{3}{{{a}^{2}}}-\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{2}{{{a}^{2}}}\Rightarrow AH=\frac{a\sqrt{2}}{2}\)
Vậy thể tích khối lăng trụ \(V=\frac{a\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{1}{2}.{{\left( a\sqrt{2} \right)}^{2}}=\frac{{{a}^{3}}\sqrt{2}}{2}\).
Đề thi thử tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023
Trường THPT Nguyễn Bỉnh Khiêm
Câu hỏi liên quan
-
Giá trị cực tiểu của hàm số \(y=-{{x}^{3}}+3x+4\) là
-
Trong không gian \(Oxyz\), điểm nào sau đây thuộc đường thẳng \(d:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{-3}=\frac{z}{1}\)
-
Cho cấp số nhân \(({{u}_{n}})\) có \({{u}_{1}}=2,\text{ }{{u}_{4}}=-54\). Tìm công bội \(q\).
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(d:\,\left\{ \begin{align}
& x=-1+t \\
& y=2-3t \\
& z=t \\
\end{align} \right.\) và điểm \(A\left( 2;\,3;\,1 \right).\)Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\), vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình là
-
Trong không gian cho hình chữ nhật \(ABCD\) có \(AB=1\) và \(AD=2\). Gọi \(M,N\)lần lượt là trung điểm của \(AD\)và \(BC\). Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được hình trụ. Diện tích toàn phần của hình trụ bằng:
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, \(SC=a\sqrt{3}\). Gọi \(M,\,N,P,\,Q\) lần lượt là trung điểm của \(SB,\,SD,CD,\,BC\). Thể tích của khối chóp\(A.MNPQ\) bằng
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), từ điểm \(A\left( 1;1;0 \right)\) ta kẻ các tiếp tuyến đến mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( -1;1;1 \right)\) và bán kính \(R=1\). Gọi \(M\left( a;b;c \right)\) là một trong các tiếp điểm ứng với các tiếp tuyến trên. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(T=\left| 2a-b+2c \right|\).
-
Biết \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{1}{x}\) trên \(\left( 0;+\infty \right)\) và \(F(1)=1\). Tính \(F(3)\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
Phương trình \(f\left( x \right)=0\) có bao nhiêu nghiệm?
-
Tập xác định của hàm số \(y={{({{x}^{3}}+27)}^{\frac{\pi }{2}}}\) là
-
Cho khối tứ diện \(ABCD\) có thể tích \(V\). Gọi \(V'\) là thể tích của khối tám mặt có các đỉnh là trung điểm các cạnh của khối đa diện \(ABCD\). Tính tỉ số \(\frac{V'}{V}\) bằng:
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị \({f}'\left( x \right)\) như hình vẽ bên.
Bất phương trình \({{\log }_{5}}\left[ f\left( x \right)+m+2 \right]+f\left( x \right)>4-m\) đúng với mọi \(x\in \left( -1\,;\,4 \right)\)khi và chỉ khi
-
Tìm họ các nguyên hàm của hàm số \(y={{e}^{x}}+2x\).
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên đoạn \(\left[ a;b \right]\). Gọi \(D\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y=f\left( x \right)\), trục hoành và hai đường thẳng \(x=a,\ x=b\). Thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay \(D\) quanh trục hoành được tính theo công thức
-
Tính tổng \(T\) tất cả các nghiệm thực của phương trình \({{4.9}^{x}}-{{13.6}^{x}}+{{9.4}^{x}}=0\)
-
Cho số phức \(z=1-2i\). Phần ảo của số phức \(\overline{z}\) là?
-
Phương trình \({{\log }_{2}}(x-5)=5\) có nghiệm là
-
Trong không gian với hệ tọa độ \(\text{O}xyz\), cho các điểm \(A\left( 1;0;0 \right)\), \(B\left( 0;2;0 \right)\),\(C\left( 0;0;4 \right)\).Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua trực tâm \(H\) của tam giác \(\Delta ABC\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\).
-
Có bao nhiêu số nguyên \(x\) thỏa mãn \(\left[ {{3}^{2x}}-{{4.3}^{x+1}}+27 \right]\left[ {{\log }_{3}}\left( x+1 \right)+x-3 \right]\le 0\)
-
Một hộp chứa 7 quả cầu xanh, 5 quả cầu vàng (các quả cầu đôi một khác nhau). Chọn ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp, tính xác suất để 3 quả được chọn có ít nhất 2 quả xanh.
