Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh 3a . Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng đáy ABCD là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HB=2.HA . Cạnh SA hợp với mặt phẳng đáy góc \(60^0\) . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai
Goi G là tâm hình vuông A B C D ; M, N lần lươt là trung điểm AB, SA ; A' là điềm đối xứng cüa A qua H
Vì A' là điểm đối xứng của A qua H nên ta có HA=HA'
Suy ra SH là đường trung trực của AA'. Do đó \(\triangle S A A^{\prime}\) là tam giác cân.
Mà \(\widehat{S A A^{\prime}}=\widehat{(S A,(A B C D))}=60^{\circ} .\)
Do đó \(\Delta S A A^{\prime}\) là tam giác đều canh bằng 2a
Từ M kẻ đường trung trực của AB cắt A'N tại K . Khi đó K là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\triangle S A B\)
Qua G dựng trục đương tròn ngoại tiếp Gy của hình vuông ABCD. Qua K dựng trục đường tròn ngoại tiếp Kx của \(\Delta S A B\). Goi\(O=K x \cap G y\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S . A B C D\)
Ta có: \(A^{\prime} N=\sqrt{A A^{\prime 2}-A N^{2}}=a \sqrt{3} ; M A^{\prime}=\frac{a}{2}\)
Lại có \(\Delta M K A^{\prime} \sim \Delta N A A^{\prime} \Rightarrow \frac{A^{\prime} K}{A A^{\prime}}=\frac{M A^{\prime}}{N A^{\prime}}=\frac{\frac{a}{2}}{a \sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{6} \Rightarrow A^{\prime} K=\frac{\sqrt{3}}{6} A A^{\prime}=\frac{a \sqrt{3}}{3}\)
Mặt khác \(K O=M G=\frac{A D}{2}=\frac{3 a}{2}\)
Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp là \(\frac{55 \pi a^{2}}{3}\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT QG môn Toán năm 2020
Trường THPT Chuyên Nguyễn Trãi
Câu hỏi liên quan
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(y=\frac{3 x-1}{x-3}\)-trên \([0 ; 2]\) là:
-
Cho hàm số \(y=x^{3}-3 x^{2}+9\) có đồ thị là (C). Điểm cực tiểu của đồ thị (C) là
-
Cho hàm số y =f(x) có đồ thị như sau
Số nghiệm thực của phương trình \(f(|x|)-1=0\) là
-
Cho hàm số f(x) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(f(x)=\left\{\begin{array}{ll} x+m & \text { khi } x \geq 0 \\ c^{2 x} & \text { khi } x<0 \end{array}\right.\) (m là hằng số). Biết \(\int_{-1}^{2} f(x) \mathrm{d} x=a+b . c^{-2}\) . trong đó a b , là các số hữu tỷ. Tính a + b
-
Gọi F x ( ) là nguyên hàm của hàm số \(f(x)=\frac{x}{\sqrt{8-x^{2}}}\) thỏa mãn F(2)=0 . Khi đó phương trình F(x)=x có nghiệm là:
-
Cho \(a=\log _{2} 5, b=\log _{2} 9\). Biểu diễn của \(P=\log _{2} \frac{40}{3}\) theo a và b là
-
Quay hình vuông ABCD cạnh a xung quanh một cạnh .Thể tích khối trụ được tạo thành là:
-
Tổng số đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y=\frac{2 x-1}{x+1}\)
-
Tính thể tích vật thể giới hạn bởi các mặt phẳng x =0 và x= 1, biết thiết diện của vật thể cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoàng độ \(0 \leq x \leq 1\) là một hình vuông có độ dài cạnh \(\sqrt{x (e^{x}-1)}\).
-
Cho lăng trụ đều ABC.A' B'C' có cạnh đáy bằng 2a, độ dài cạnh bên bằng \(a \sqrt{3}\) . Tính thể tích V của khối lăng trụ
-
Trong không gian Oxyz , cho điểm \(A(1 ;-3 ; 2)\) Tọa độ điểm A' đối xứng với A điểm qua mặt phẳng (Oyz) là
-
Tính thể tích V của khối chóp có đáy là hình vuông cạnh bằng 3 và chiều cao bằng 4
-
Cho hình chóp S .ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B , \(S A \perp(A B C D), A D=3 a\), \(S A=A B=B C=a\) . Gọi S ' là điểm thỏa mãn \(\overrightarrow{S S^{\prime}}=\frac{1}{2} \overrightarrow{A B}\). Tính thể tích khối đa diện \(S S^{\prime} A B C D\)
-
Cho hàm số y=f(x) có đồ thị như hình sau:
Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên của tham số m để phương trình \( f(3 \sin x+m)-3=0\)có đúng 6 nghiệm phân biệt thuộc \([0 ; 3 \pi]\) Tổng các phần tử của S bằng
-
Trong không gian Oxyz , phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB với \(A(3 ;-2 ; 1) \text { và } B(1 ; 0 ; 5)\) là:
-
Gọi\(z_1, z_2\) , là các nghiệm phức của phương trình\(z^{2}+z+1=0, \text { đặt } \mathrm{w}=z_{1}^{2021}+z_{2}^{2021}\)1 Khi đó
-
Hàm số \(y=x^{4}-2 x^{2}+1\)nghịch biến trên khoảng nào sau đây?
-
Cho a là số thực dương khác 1 . Tính \(I=\log _{\sqrt{a}} a\)
-
Biết rằng hàm số \(y=f(x)=a x^{4}+b x^{2}+c\) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây.
Tính a+b+2c
-
Tất cả các giá trị của m để hàm số \(y=\frac{2 \cos x-1}{\cos x-m}\) đồng biến trên khoảng \(\left(0 ; \frac{\pi}{2}\right)\) là
