Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, \(AC = 2\sqrt 3 a,\,\,BD = 2a\), hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ điểm O đến (SAB) bằng \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\). Thể tích của khối chóp S.ABCD là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.JPG)
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SBD} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\end{array} \right. \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
Dựng \(OH \bot AB,\,\,H \in AB;\,\,\,\,OK \bot SH,\,K \in SH\). Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}AB \bot OH\\AB \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow AB \bot \left( {SOH} \right) \Rightarrow AB \bot OK\)
Mà \(OK \bot SH \Rightarrow OK \bot \left( {SAB} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SAB} \right)} \right) = OK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{4}\)
\(\Delta OAB\) vuông tại O, \(OH \bot AB \Rightarrow \dfrac{1}{{O{H^2}}} = \dfrac{1}{{O{A^2}}} + \dfrac{1}{{O{B^2}}} = \dfrac{1}{{3{a^2}}} + \dfrac{1}{{{a^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}}\) \( \Rightarrow OH = \dfrac{{\sqrt 3 a}}{2}\)
\(\Delta SOH\) vuông tại O, \(OK \bot SH \Rightarrow \dfrac{1}{{O{K^2}}} = \dfrac{1}{{O{S^2}}} + \dfrac{1}{{O{H^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{\dfrac{{3{a^2}}}{{16}}}} = \dfrac{1}{{O{S^2}}} + \dfrac{1}{{\dfrac{3}{4}{a^2}}}\)\( \Leftrightarrow \dfrac{1}{{O{S^2}}} = \dfrac{4}{{{a^2}}} \Rightarrow SO = \dfrac{1}{2}a\)
Diện tích hình thoi ABCD: \({S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}AC.BD = \dfrac{1}{2}.2\sqrt 3 a.2a = 2\sqrt 3 {a^2}\)
Thể tích của khối chóp S.ABCD là: \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}{S_{ABCD}}.SO = \dfrac{1}{3}.2\sqrt 3 {a^2}.\dfrac{1}{2}a = \dfrac{{\sqrt 3 {a^3}}}{3}\).
Chọn: B
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( { - 2;1;1} \right),B\left( {0; - 1;1} \right)\). Phương trình mặt cầu đường kính \(AB\) là:
-
Cho hàm số bậc ba \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên. Hỏi đồ thị hàm số \(g\left( x \right) = \dfrac{{\left( {{x^2} - 4x + 4} \right)\sqrt {x - 1} }}{{x\left[ {{f^2}\left( x \right) - f\left( x \right)} \right]}}\) có bao nhiêu đường tiệm cận đứng?
.JPG)
-
Cho hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 3\) có giá trị cực đại và giá trị cực tiểu lần lượt là \({y_1},{y_2}\). Khi đó: \({y_1} + {y_2}\) bằng
-
Trong không gian Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M\left( {2;0; - 1} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3;1} \right)\) là:
-
Tích phân \(\int\limits_0^1 {\dfrac{1}{{2x + 5}}dx} \) bằng
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), biết hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)\) và hàm số \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Đặt \(g\left( x \right) = f\left( {x + 1} \right)\). Kết luận nào sau đây đúng?
.JPG)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, \(BC = a\sqrt 3 \). Cạnh bên SA vuông góc với đáy và đường thẳng SD tạo với mặt phẳng (ABCD) một góc \({30^0}\). Thể tích của khối chóp S.ABCD bằng:
-
Tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{3x - 7}}{{x + 2}}\) là:
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có bảng biến thiên như hình vẽ. Khẳng định nào sau đây đúng?
.JPG)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với \(AB = a,\,BC = a\sqrt 3 \), cạnh \(SA = 2a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD). Giá trị \(\tan \alpha \) bằng:
-
Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - 2z - 9 = 0\),\(\left( Q \right):x - y - 6 = 0\). Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right),\left( Q \right)\) bằng:
-
Trong các hàm số sau đây, hàm số nào đồng biến trên \(\mathbb{R}\)
-
Đường cong như hình vẽ là đồ thị của hàm số nào?
.JPG)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đạo hàm thỏa mãn \(f'\left( x \right) + 2f\left( x \right) = 1,\,\,\forall x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( 0 \right) = 1\). Tích phân \(\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \) bằng:
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - 2z + 4 = 0\). Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là:
-
Phương trình \({\log _2}\left( {x + 1} \right) = 2\) có nghiệm là:
-
Thể tích của một khối lăng trụ có đường cao bằng 3a, diện tích mặt đáy bằng \(4{a^2}\) là:
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B. Biết \(AB = BC = a\), \(AD = 2a,\,\)\(SA = \dfrac{{3a\sqrt 2 }}{2}\), \(SA \bot \left( {ABCD} \right)\). Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của SB, SA. Khoảng cách từ N đến mặt phẳng (MCD) bằng:
-
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị các hàm số sau \(y = \sqrt x ,y = 1\) và đường thẳng \(x = 4\) (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình (H) khi quay quanh đường thẳng \(y = 1\) bằng
.JPG)
-
Cho \(a = {\log _3}2;\,\,b = {\log _3}5\). Khi đó \(\log 60\) bằng:
