Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l} {3^{2x + \sqrt {x + 1} }} - {3^{2 + \sqrt {x + 1} }} + 2020x - 2020 \le 0\\ {x^2} - \left( {m + 2} \right)x - {m^2} + 3 \ge 0 \end{array} \right.\) (m là tham số). Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để hệ bất phương trình đã cho có nghiệm. Tính tổng các phần tử của S.
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐiều kiện xác định: \(x\ge -1\).
Ta có: \({{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2020x-2020\le 0\Leftrightarrow {{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}+2020x\le {{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2020\)
\(\Leftrightarrow {{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}+1010\left( 2x+\sqrt{x+1} \right)\le {{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+1010\left( 2+\sqrt{x+1} \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right)={{3}^{t}}+1010t\) trên \(\mathbb{R}\).
Dễ dàng nhận thấy \({f}'\left( t \right)>0,\,\forall t\in \mathbb{R}\), suy ra hàm số \(f\left( t \right)={{3}^{t}}+1010t\) là hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\).
Do đó \(f\left( 2x+\sqrt{x+1} \right)\le f\left( 2+\sqrt{x+1} \right)\Leftrightarrow 2x+\sqrt{x+1}\le 2+\sqrt{x+1}\Leftrightarrow -1\le x\le 1\).
Vậy tập nghiệm của bất phương trình \({{3}^{2x+\sqrt{x+1}}}-{{3}^{2+\sqrt{x+1}}}+2020x-2020\le 0\) là \(\left[ -1\,;\,1 \right]\).
Hệ bất phương trình có nghiệm khi và chỉ khi bất phương trình \({{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x-{{m}^{2}}+3\ge 0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -1\,;\,1 \right]\). Gọi \(g\left( x,m \right)={{x}^{2}}-\left( m+2 \right)x-{{m}^{2}}+3\).
TH1: \(\Delta ={{\left( m+2 \right)}^{2}}+4{{m}^{2}}-12\le 0\Leftrightarrow 5{{m}^{2}}+4m-8\le 0\Leftrightarrow \frac{-2-2\sqrt{11}}{5}\le m\le \frac{-2+2\sqrt{11}}{5}\), khi đó \(g\left( x,m \right)\ge 0\,,\,\forall x\in \mathbb{R}\) (thỏa điều kiện đề bài).
TH2: \(\Delta ={{\left( m+2 \right)}^{2}}+4{{m}^{2}}-12>0\left[ \begin{align} & m>\frac{-2+2\sqrt{11}}{5} \\ & m<\frac{-2-2\sqrt{11}}{5} \\ \end{align} \right.\), khi đó \(g\left( x,\,m \right)=0\) có hai nghiệm \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\).
Để \(g\left( x,\,m \right)\ge 0\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ -1\,;\,1 \right]\) khi \(\left[ \begin{align} & {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 1 \\ & -1\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}} \\ \end{align} \right.\).
KN1: Xét \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}\le 1\), tức là \(\left\{ \begin{align} & g\left( 1,m \right)\ge 0 \\ & \frac{m+2}{2}<1 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow\) \(\left[ \begin{align} & -{{m}^{2}}-m+2\ge 0 \\ & m<0 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -2\le m<0\).
KN2: Xét \(-1\le {{x}_{1}}<{{x}_{2}}\), tức là \(\left\{ \begin{align} & g\left( -1,m \right)\ge 0 \\ & \frac{m+2}{2}>-1 \\ \end{align} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & -{{m}^{2}}+m+6\ge 0 \\ & m>-4 \\ \end{align} \right.\Leftrightarrow -2\le m\le 3\).
Từ các trường hợp (1) và (2) vậy ta có \(m\in \left[ -2\,;\,3 \right]\) thì hệ bất phương trình trên có nghiệm.
Vì \(m\in \mathbb{Z}\) nên tập hợp \(S=\left\{ -2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\,;\,3 \right\}\).
Vậy tổng các phần tử trong tập hợp S bằng 3.
Câu hỏi liên quan
-
Phần không gian bên trong của chai nước ngọt có hình dạng như hình bên.
.PNG)
Biết bán kính đáy bằng \(R=5 \mathrm{~cm}\), bán kính cổ \(r=2 c m, A B=3 \mathrm{~cm}, B C=6 \mathrm{~cm}, \mathrm{CD}=16 \mathrm{~cm} .\) Thể tích phần không gian bên trong của chai nước ngọt đó bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) là hàm số bậc ba có đồ thị như hình vẽ dưới đây
.jpg.png)
Gọi \(m,\,n\) là số điểm cực đại, số điểm cực tiểu của hàm số \(g\left( x \right)=\left| {{f}^{3}}\left( x \right)-3f\left( x \right) \right|\). Đặt \(T={{n}^{m}}\) hãy chọn mệnh đề đúng?
-
Đạo hàm của hàm số \(y={{2}^{{{x}^{2}}}}\) là
-
Một khối chóp tam giác có diện tích đáy bằng 4 và chiều cao bằng 3. Thề tích của khối chóp đó bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và hàm số y=f'(x) có đồ thị như hình vẽ. Đặt hàm số \(g\left( x \right)=f\left( 2x-1 \right)-2x+1\). Giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) trên đoạn \(\left[ 0;1 \right]\) bằng
.jpg.png)
-
Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A(1\,;2\,;\,3)\) và \(B(3\,;\,4\,;\,-1)\). Véc tơ \(\overrightarrow{AB}\) có tọa độ là
-
Cho lăng trụ đứng \(ABC.{A}'{B}'{C}'\) có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BC=a biết mặt phẳng \(\left( {A}'BC \right)\) hợp với đáy \(\left( ABC \right)\) một góc 600 (tham khảo hình bên).Tính thể tích lăng trụ \(ABC.{A}'{B}'{C}'\).
.png)
-
Thể tích của khối cầu có đường kính 6 bằng
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=1+2i\) và \({{z}_{2}}=2-3i\). Phần ảo của số phức liên hợp \(z=3{{z}_{1}}-2{{z}_{2}}\).
-
Trong không gian Oxyz, đường thẳng đi qua hai điểm \(A\left( 2\,;\,3\,;\,-1 \right),B\left( 1\,;\,-1\,;\,2 \right)\) có phương trình tham số là:
-
Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đáy là hình vuông, \(AB=1,AA'=\sqrt{6}\) ( tham khảo hình vẽ). Góc giữa đường thẳng CA' và mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\) bằng
.png)
-
Trong không gian Oxyz, vectơ nào dưới đây là một vectơ chi phương của đường thằng AB biết tọa độ điểm \(A\left( 1\,;\,2\,;\,3 \right)\) và tọa độ điểm \(B(3\,;\,2\,;\,1)?\)
-
Cho hàm số y = g(x) có bảng biến thiên như sau:
.PNG)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Tiệm cận đúng của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x + 4}}{{x - 2}}\) là đường thẳng:
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): 2x-y+2z-14=0 và quả cầu \(\left( S \right):\,{{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{\left( y+2 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9\). Tọa độ điểm \(H\left( a;b;c \right)\) thuộc mặt cầu \(\left( S \right)\) sao cho khoảng cách từ H đến mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là lớn nhất. Gọi \(A,\,B,\,C\) lần lượt là hình chiếu của H xuống mặt phẳng \(\left( Oxy \right)\,,\,\left( Oyz \right)\,,\,\left( Ozx \right)\). Gọi S là diện tích tam giác ABC, hãy chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?
-
Đồ thị hàm số \(y=\frac{x+5}{x-1}\) cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng
-
Cho \(I=\int\limits_{0}^{2}{f\left( x \right)\text{d}x=3}\). Khi đó \(J=\int\limits_{0}^{2}{\left[ 4f\left( x \right)-3 \right]\text{d}x}\) bằng
-
Mô đun của số phức z = 3 + 4i là
-
Trong không gian Oxyz, mặt cầu \((S):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2\text{x}-4y+2\text{z}=1\) có tâm là
-
Nghiệm của phương trình \({\log _9}\left( {x + 1} \right) = \frac{1}{2}\) là
