Cho hàm số \(y={{x}^{2}}\) có đồ thị \(\left( C \right)\), biết rằng tồn tại hai điểm A,B thuộc đồ thị \(\left( C \right)\) sao cho tiếp tuyến tại A,B và đường thẳng vuông góc với hai tiếp tuyến tại A,B tạo thành một hình chữ nhật \(\left( H \right)\) có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Gọi \({{S}_{1}}\) là diện tích giới hạn bởi đồ thị \(\left( C \right)\) và hai tiếp tuyến, \(S{{}_{2}}\) là diện tích hình chữ nhật \(\left( H \right)\). Tính tỉ số \(\frac{{{S}_{1}}}{{{S}_{2}}}\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(A\left( {a\,;\,{a^2}} \right)\) và \(B\left( {b\, ;\,{b^2}} \right)\). Không mất tính tổng quát, ta xét a>0 và b<0
.jpg.png)
Gọi: d1 là đường tiếp tuyến với (C) tại A, d2 là đường tiếp tuyến với (C) tại B.
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left( {{d_1}} \right):y = 2ax - {a^2}}\\ {\left( {{d_2}} \right):y = 2bx - {b^2}} \end{array}} \right.\).
Do \(\left( {{d_1}} \right) \bot \left( {{d_2}} \right)\) nên
\({k_{\left( {{d_1}} \right)}}.{k_{\left( {{d_2}} \right)}} = - 1 \Leftrightarrow \left( {2a} \right).\left( {2b} \right) = - 1 \Rightarrow b = \frac{{ - 1}}{{4a}} \Rightarrow B\left( {\frac{{ - 1}}{{4a}}\,;\,\frac{1}{{16{a^2}}}} \right)\).
\( \Rightarrow \left( {{d_2}} \right):y = \frac{{ - x}}{{2a}} - \frac{1}{{16{a^2}}}\)
\({d_1} \cap {d_2}\) tại \(E\left( {\frac{{4{a^2} - 1}}{{8a}}\,;\,\frac{{ - 1}}{4}} \right)\) ⇒ chiều dài \(D = \frac{{\sqrt {{{\left( {4{a^2} + 1} \right)}^3}} }}{{8a}}\) và chiều rộng \(R = \frac{{\sqrt {{{\left( {4{a^2} + 1} \right)}^3}} }}{{16{a^2}}}\).
Mà \(D = 2.R \Rightarrow a = 1 \Rightarrow {S_2} = \frac{{{{\left( {4{a^2} + 1} \right)}^3}}}{{128{a^3}}} = \frac{{125}}{{128}}\) và suy ra \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \left( {{d_1}} \right):y = 2x - 1\\ \left( {{d_2}} \right):y = \frac{{ - x}}{2} - \frac{1}{{16}} \end{array} \right.\) và \(E\left( {\frac{3}{8};\frac{{ - 1}}{4}} \right)\).
Suy ra \({S_1} = \int\limits_{ - \frac{1}{4}}^{\frac{3}{8}} {\left[ {{x^2} - \left( {\frac{{ - x}}{2} - \frac{1}{{16}}} \right)} \right]} dx + \int\limits_{\frac{3}{8}}^1 {\left[ {{x^2} - \left( {2x - 1} \right)} \right]} dx = \frac{{125}}{{768}}\).
Như vậy tỉ số \(\frac{{{S_1}}}{{{S_2}}} = \frac{{125}}{{768}}.\frac{{128}}{{125}} = \frac{{128}}{{768}} = \frac{1}{6}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Thị Diệu lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Số điểm cực trị của hàm số đã cho bằng
-
Cho hàm số \(f(x)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+1\) và \(g(x)=f\left( \left| f(x) \right|-m \right)\) cùng với x=-1;x=1 là hai điểm cực trị trong nhiều điểm cực trị của hàm số y=g(x). Khi đó số điểm cực trị của hàm y=g(x) là
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, \(SA\bot \left( ABCD \right)\) và SA=a. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng \(\left( SBD \right)\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên sau
.png)
Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Trong các hàm số sau, hàm số nào đồng biến trên \(\mathbb{R}\)?
-
Có tất cả bao nhiêu cặp giá trị thực \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn đồng thời các điều kiện \({{3}^{\left| {{x}^{2}}-2x-3 \right|-{{\log }_{3}}5}}={{5}^{-\left( y+4 \right)}}\) và \(4\left| y \right|-\left| y-1 \right|+{{\left( y+3 \right)}^{2}}\le 8\)?
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 0;-1;-2 \right)\) và \(B\left( 2;2;2 \right)\). Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là
-
Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y={{x}^{3}}-2{{x}^{2}}-7x+1\) trên đoạn \(\left[ -2;1 \right]\).
-
Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần. Tính xác suất để tích số chấm xuất hiện trên con súc sắc trong 2 lần gieo là một số lẻ.
-
Đồ thị của hàm số \(y={{x}^{4}}+4{{x}^{2}}-3\) cắt trục hoành tại bao nhiêu điểm?
-
Cho số phức z thỏa mãn \(z\left( 1+i \right)=3-5i\). Tính module của z.
-
Xét các số phức \({{z}_{1}}=1+i,{{z}_{2}}=1-3i,{{z}_{3}}=4+i\) và số phức z thay đổi. Biết rằng tồn tại số phức \({{z}_{4}},{{z}_{5}},{{z}_{6}}\) mà \(\frac{{{z}_{4}}-{{z}_{2}}}{{{z}_{4}}-{{z}_{3}}},\frac{{{z}_{5}}-{{z}_{3}}}{{{z}_{5}}-{{z}_{1}}},\frac{{{z}_{6}}-{{z}_{1}}}{{{z}_{6}}-{{z}_{2}}}\) là các số thực, còn \(\frac{z-{{z}_{4}}}{{{z}_{2}}-{{z}_{3}}},\frac{z-{{z}_{5}}}{{{z}_{3}}-{{z}_{1}}},\frac{z-{{z}_{6}}}{{{z}_{1}}-{{z}_{2}}}\) thuần ảo. Tìm giá trị nhỏ nhất của \(T={{\left| z-{{z}_{4}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{5}} \right|}^{2}}+{{\left| z-{{z}_{6}} \right|}^{2}}.\)
-
Số nghiệm của phương trình \({3^{{x^2} - 2x}} = 1\) là
-
Một hình lập phương có cạnh bằng 3. Thể tích của lập phương là bao nhiêu?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l} {e^x} + a\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x \ge 0\\ - {x^3} + bx\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,x < 0 \end{array} \right.\) có đạo hàm tại \({x_0} = 0\). Tích phân \(I = \int\limits_{\ln \left( {\frac{e}{{e + 1}}} \right)}^{ - \ln \left( {e + 1} \right)} {\frac{1}{{1 + a{e^x}}}f\left( {\ln \left( {b{e^{ - x}} + a} \right)} \right)dx} = m - ne\). Giá trị của \(P = 2m + \frac{n}{2}\) bằng
-
Tính đạo hàm của hàm số \(y = {\left( {\frac{1}{{2022}}} \right)^x}\)
-
Cho \(\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)dx=3}\) và \(\int\limits_{0}^{2}{g\left( 2x \right)dx=4}\). Tính \(\int\limits_{0}^{4}{\left[ f\left( x \right)-g\left( x \right) \right]dx}\)
-
Cho a là số thực dương khác 4. Giá trị của \({{\log }_{\frac{a}{4}}}\left( \frac{{{a}^{3}}}{64} \right)\) bằng:
-
Tìm nghiệm của bất phương trình: \({2^{{x^2} - x + 8}} < {4^{1 - 3x}}\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{z}^{2}}=36\). Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của \(\left( S \right)\).
