Cho hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị (C). Tìm trên hai điểm M, N thuộc hai nhánh của đồ thị sao cho MN nhỏ nhất. Khi đó độ dài của MN bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1 + \frac{2}{{x - 1}}\)
Gọi \(M\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \(N\left( {{x_2};{y_2}} \right)\). Vì hai điểm M, N thuộc hai nhánh của đồ thị nên \({x_1} < 1 < {x_2}\)
Đặt \({x_1} = 1 - a,{x_2} = 1 + b\), điều kiện a > 0,b > 0
Khi đó ta có : \(M{N^2} = {\left( {a + b} \right)^2} + {\left( {\frac{2}{a} + \frac{2}{b}} \right)^2}\). Suy ra \(M{N^2} = {\left( {a + b} \right)^2}\left( {1 + \frac{4}{{{a^2}{b^2}}}} \right)\)
Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có : \(M{N^2} \ge {\left( {2\sqrt {ab} } \right)^2}.\frac{4}{{ab}}\) suy ra \(M{N^2} \ge 16\). Vậy \(MN \ge 4\). Dấu bằng xảy ra \(\left\{ \begin{array}{l} a = b\\ 1 = \frac{4}{{{a^2}{b^2}}} \end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \sqrt 2 \)
Hay \(M\left( {1 - \sqrt 2 ;1 - \sqrt 2 } \right)\) và \(N\left( {1 + \sqrt 2 ;1 + \sqrt 2 } \right)\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Khuyến
Câu hỏi liên quan
-
Cho 2 số phức \({z_1} = 3 - 4i\,\,;\,\,{z_2} = 4 - i\). Số phức z = \(\frac{{{z_1}}}{{{z_2}}}\) bằng:
-
Đường cong trong hình vẽ dưới đây là đồ thị của hàm số nào trong các phương án A, B, C, D?
.png)
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên âm của m để hàm số \(y = {x^4} - 4{x^3} + \left( {m + 25} \right)x - 1\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\).
-
Số phức liên hợp \(\overline z \) của số phức: z = - 1 + 2i.
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai điểm \(A\left( {1; - 2;4} \right),\,B\left( { - 2;3;5} \right)\).Tìm tọa độ véctơ \(\overrightarrow {AB} .\)
-
Giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\) trên đoạn [-1;2] bằng
-
Có hai hộp chứa các quả cầu. Hộp thứ nhất chứa 7 quả cầu đỏ và 5 quả cầu xanh, hộp thứ hai chứa 6 quả cầu đỏ và 4 quả cầu xanh. Lấy ngẫu nhiên từ một hộp một quả cầu. Xác suất để hai quả lấy ra cùng màu đỏ.
-
Cho hai số phức \({z_1} = 2 - i\) và \({z_2} = - 3 + i.\) Phần thực của số phức 3\({z_1}{z_2}\) bằng
-
Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường \(\left( C \right):y = {x^2} + 2x;\,\,\left( d \right):y = x + 2\) được tính bởi công thức nào dưới đây?
-
Gọi z0 là nghiệm có phần ảo dương của phương trình \({z^2} + 2z + 5 = 0.\) Điểm biểu diễn của số phức \({z_0} + 3i\) là
-
Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ.
.png)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình \(f(x + 1) - \frac{{{m^2}}}{{{x^2} + 3x + 5}} = 0\) có nghiệm trên khoảng (-1;1)?
-
Cho hình trụ có chiều cao là 3a. Trong đáy dưới ta vẽ tam giác đều ABC nội tiếp trong đường tròn đáy; mặt (P) chứa AB và (P) song song trục của hình trụ, (P) cắt hình trụ theo thiết diện có diện tích là \(6{a^2}\sqrt 3 \). Thể tích của khối trụ đã cho bằng
-
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào sau đây đúng ?
.png)
-
Số tổ hợp chập 2 của 10 phần tử là
-
Nghiệm của phương trình \({2^{x - 1}} = 8\) là
-
Thể tích của khối hình hộp chữ nhật có độ dài ba kích thước 2, 3, 4 bằng
-
Số tiền 58 000 000 đ gửi tiết kiệm trong 8 tháng thì lãnh về được 61 329 000 đ. Lãi suất hàng tháng là:
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số \(f\left( x \right) = - \frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {2m - 3} \right)x - m + 2\) nghịch biến trên R?
-
Với a là số thực dương tùy ý, \({\log _3}\left( {{a^5}} \right)\) bằng
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x – z + 2 = 0.Véctơ nào sau đây là một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P)
