Cho hai số thực b và c \(\left( c>0 \right)\). Kí hiệu A, B là hai điểm của mặt phẳng phức biểu diễn hai nghiệm phức của phương trình \({{z}^{2}}+2bz+c=0\). Tìm điều kiện của b và c để tam giác OAB là tam giác vuông (O là gốc tọa độ).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiHai nghiệm của phương trình \({{z}^{2}}+2bz+c=0\) là hai số phức liên hợp với nhau nên hai điểm A, B sẽ đối xứng nhau qua trục Ox.
Do đó, tam giác OAB cân tại O.
Vậy tam giác OAB vuông tại O.
Để ba điểm O, A, B tạo thành tam giác thì hai điểm A, B không nằm trên trục tung, trục hoành. Tức là nếu đặt \(z=x+yi,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\) thì \(\left\{ \begin{array}{l} x \ne 0\\ y \ne 0 \end{array} \right.\left( * \right)\)
Để phương trình \({{z}^{2}}+2bz+c=0\) có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện \(\left( * \right)\) thì \({{b}^{2}}-c<0\).
\({{z}^{2}}+2bz+c=0\Leftrightarrow {{\left( z+b \right)}^{2}}+c-{{b}^{2}}=0\)
\(\Leftrightarrow {{\left( z+b \right)}^{2}}={{b}^{2}}-c\Leftrightarrow z=-b\pm i\sqrt{c-{{b}^{2}}}\)
Đặt \(A\left( -b;\sqrt{c-{{b}^{2}}} \right)\) và \(B\left( -b;-\sqrt{c-{{b}^{2}}} \right)\)
Theo đề ta có:
\(\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=0\Leftrightarrow {{b}^{2}}-c+{{b}^{2}}=0\Leftrightarrow 2{{b}^{2}}=c\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Thăng Long lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số \(y=-2{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+1\).
-
Tìm số phức liên hợp của số phức \(z=i\left( 3i+3 \right)\).
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)=\left( {{m}^{2024}}+1 \right){{x}^{4}}+\left( -2{{m}^{2024}}-{{2}^{2024}}{{m}^{2}}-3 \right){{x}^{2}}+{{m}^{2024}}+2024\), với m là tham số. Số cực trị của hàm số \(y=\left| f\left( x \right)-2023 \right|\).
-
Giá trị của tích phân \(I=\int\limits_{0}^{1}{\frac{x}{x+1}}dx=a\). Biểu thức \(P=2a-1\) có giá trị là:
-
Số \({{7}^{100000}}\) có bao nhiêu chữ số?
-
Mệnh đề nào sau đây có thể sai?
-
Cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}+4x-2y+6z-2=0\) và mặt phẳng \(\left( P \right):3x+2y+6z+1=0\). Gọi \(\left( C \right)\) là đường tròn giao tuyến của \(\left( P \right)\) và \(\left( S \right)\). Viết phương trình mặt cầu cầu \(\left( S' \right)\) chứa \(\left( C \right)\) và điểm \(M\left( 1,-2,1 \right).\)
-
Phương trình mặt câu tâm \(I\left( a,b,c \right)\) có bán kính \(R\) là:
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để bất phương trình \(\log 5+\log \left( {{x}^{2}}+1 \right)\ge \log \left( m{{x}^{2}}+4x+m \right)\) đúng với mọi \(x\)?
-
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
-
Đồ thị hàm số \(y=-2{{x}^{4}}+(m+3){{x}^{2}}+5\) có duy nhất một điểm cực trị khi và chỉ khi
-
Cho hàm số \(y={{x}^{4}}-2\left( m+1 \right){{x}^{2}}+{{m}^{2}}\) với \(m\) là tham số thực. Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông.
-
Tìm tập nghiệm \(S\) của phương trình \({{\sqrt{2}}^{{{x}^{2}}+2x+3}}={{8}^{x}}.\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(A\left( 1;2;0 \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d:\frac{x-1}{2}=\frac{y}{1}=\frac{z+1}{-1}\).
-
Cho số phức z thỏa mãn \(iz=2+i\). Khi đó phần thực và phần ảo của z là
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình sau:
.PNG)
(I). Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( 0;1 \right)\).
(II). Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( -1;2 \right)\).
(III). Hàm số có ba điểm cực trị.
(IV). Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2.
Trong các mệnh đề đã cho có bao nhiêu mệnh đề đúng?
-
Cho cấp số nhân \(\left( {{x}_{n}} \right)\) có \(\left\{ \begin{matrix} {{x}_{2}}-{{x}_{4}}+{{x}_{5}}=10 \\ {{x}_{3}}-{{x}_{5}}+{{x}_{6}}=20 \\ \end{matrix} \right..\) Tìm \({{x}_{1}}\) và công bội q.
-
Tính giá trị của biểu thức \(P={{\log }_{a}}\left( a.\sqrt[3]{a\sqrt{a}} \right)\) với \(0<a\ne 1.\)
-
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy và \(SA=a\sqrt{2}.\) Tính thể tích \(V\) của khối chóp \(S.ABCD.\)
-
Giải bất phương trình \({{\log }_{2}}\left( 3x-1 \right)>3\).
