Cho \(f\left( x \right)\) là hàm liên tục trên đoạn \(\left[ {0;a} \right]\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right).f\left( {a - x} \right) = 1\\f\left( x \right) > 0,\,\,\forall x \in \left[ {0;a} \right]\end{array} \right.\) và \(\int\limits_0^a {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}} = \frac{{ba}}{c}\), trong đó b, c là hai số nguyên dương và \(\frac{b}{c}\) là phân số tối giản. Khi đó \(b + c\) có giá trị thuộc khoảng nào dưới đây?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \(t = a - x \Rightarrow dt = - dx\)
Đổi cận \(x = 0 \Rightarrow t = a;\,\,x = a \Rightarrow t = 0\)
Lúc đó \(I = \int\limits_0^a {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}} = \int\limits_a^0 {\frac{{ - dt}}{{1 + f\left( {a - t} \right)}}} = \int\limits_0^a {\frac{{dx}}{{1 + f\left( {a - x} \right)}}} = \int\limits_0^a {\frac{{dx}}{{1 + \frac{1}{{f\left( x \right)}}}}} = \int\limits_0^a {\frac{{f\left( x \right)dx}}{{1 + f\left( x \right)}}} \)
Suy ra \(2I = I + I = \int\limits_0^a {\frac{{dx}}{{1 + f\left( x \right)}}} + \int\limits_0^a {\frac{{f\left( x \right)dx}}{{1 + f\left( x \right)}}} = \int\limits_0^a {1dx} = a\)
Do đó \(I = \frac{1}{2}a \Rightarrow b = 1;\,\,c = 2 \Rightarrow b + c = 3\)
Cách 2: Chọn \(f\left( x \right) = 1\) là một hàm thỏa các giả thiết. Dễ dàng tính được
\(I = \frac{1}{2}a \Rightarrow b = 1;\,\,c = 2 \Rightarrow b + c = 3\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2018
Trường THPT Nguyễn Trung Trực
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng \({45^0}\). Gọi \({V_1},\,{V_2}\) lần lượt là thể tích khối chóp S.AHK và S.ACD với H;K lần lượt là trung điểm của SC và SD . Tính độ dài đường cao của khối chóp S.ABCD và tỉ số \(k = \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}}\)
-
Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2ax + b\) có điểm cực tiểu \(A\left( {2; - 2} \right)\). Khi đó \(a + b = ?\)
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số đồng \(y = {\sin ^3}x - 3{\cos ^2}x - m\sin x - 1\) biến trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\)
-
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, \(AA' = \frac{{3a}}{2}\). Biết rằng hình chiếu vuông góc của A' lên (ABC) là trung điểm BC . Tính thể tích V của khối lăng trụ đó
-
Có 7 tấm bìa ghi 7 chữ “HIỀN”, “TÀI”, “LÀ”, “NGUYÊN”, “KHÍ”, “QUỐC”, “GIA”. Một người xếp ngẫu nhiên 7 tấm bìa cạnh nhau. Tính xác suất để khi xếp các tấm bìa được dòng chữ “HIỀN TÀI LÀ NGUYÊN KHÍ QUỐC GIA”
-
Quả bóng đá được dùng thi đấu tại các giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi của thiết diện qua tâm là 68.5(cm). Quả bóng được ghép nối bởi các miếng da hình lục giác đều màu trắng và đen, mỗi miếng có diện tích \(49.83\left( {c{m^2}} \right)\). Hỏi cần ít nhất bao nhiêu miếng da để làm quả bóng trên?
-
Một hình vuông ABCD có cạnh AB = a, diện tích \({S_1}\). Nối 4 trung điểm \({A_1},\,{B_1},\,{C_1},\,{D_1}\) theo thứ tự của 4 cạnh AB, BC, CD, DA ta được hình vuông thứ hai là \({A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) có diện tích \({S_2}\). Tiếp tục như thế ta được hình vuông thứ ba \({A_2}{B_2}{C_2}{D_2}\) có diện tích \({S_3}\) và cứ tiếp tục như thế, ta được diện tích \({S_4},\,{S_5},...\). Tính \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} + ... + {S_{100}}\)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(3;2;1). Mặt phẳng (P) đi qua M và cắt các trục tọa độ Ox, Oy, Oz lần lượt tại các điểm A, B, C không trùng với gốc tọa độ sao cho M là trực tâm tam giác ABC. Trong các mặt phẳng sau, tìm mặt phẳng song song với mặt phẳng (P)
-
Tìm tất cả các giá trị thực của tham số k để có \(\int\limits_1^k {\left( {2x - 1} \right)dx} = 4\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {x + 1} - 1}}{x}\)
-
Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của \({\left( {x\sqrt x + \frac{1}{{{x^4}}}} \right)^n}\), với \(x > 0\), nếu biết rằng \(C_n^2 - C_n^1 = 44\)
-
Cho phương trình \(\cos [2\left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)] + 4\cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right) = \frac{5}{2}\). Khi đặt \(t = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\), phương trình đã cho trở thành phương trình nào dưới đây?
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 2}}{1} = \frac{{z - 1}}{2}\), \(A\left( {2;1;4} \right)\). Gọi \(H\left( {a;b;c} \right)\) là điểm thuộc d sao cho AH có độ dài nhỏ nhất. Tính \(T = {a^3} + {b^3} + {c^3}\)
-
Với hai số thực dương a, b tùy ý và \(\frac{{{{\log }_3}5{{\log }_5}a}}{{1 + {{\log }_3}2}} - {\log _6}b = 2\). Khẳng định nào là khẳng định đúng?
-
Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số \(f\left( x \right) = 2{x^3} - 6{x^2} - m + 1\) có các giá trị cực trị trái dấu?
-
Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{\sqrt {{x^2} - 1} }}{{x - 2}}\) trên tập \(D = \left( { - \infty ; - 1} \right] \cup \left[ {1;\frac{3}{2}} \right]\). Tính giá trị T của m.M
-
Kí hiệu \({Z_0}\) là nghiệm phức có phần thực âm và phần ảo dương của phương trình \({z^2} + 2z + 10 = 0\). Trên mặt phẳng tọa độ, điểm nào dưới đây là điểm biểu diễn số phức \({\rm{w}} = {i^{2017}}{z_0}\)?
-
Cho hai hàm số \(F\left( x \right) = \left( {{x^2} + ax + b} \right){e^{ - x}}\) và \(f\left( x \right) = \left( { - {x^2} + 3x + 6} \right){e^{ - x}}\). Tìm a và b để \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\)
-
Cho hình lập phương có cạnh bằng 40cm và một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn nội tiếp hai mặt đối diện của hình lập phương. Gọi \({S_1},\,\,{S_2}\) lần lượt là diện tích toàn phần của hình lập phương và diện tích toàn phần của hình trụ. Tính \(S = {S_1} + {S_2}\left( {c{m^2}} \right)\)
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{3 - {x^2}}}{2} & khi\,\,x < 1\\\frac{1}{x} & khi\,\,x \ge 1\end{array} \right.\). Khẳng định nào dưới đây là sai?
-
Cho tam giác SAB vuông tại A, \(ABS = {60^0}\), đường phân giác trong của ABS cắt SA tại điểm I. Vẽ nửa đường tròn tâm I bán kính IA (như hình vẽ). Cho tam giác SAB và nửa đường tròn trên cùng quay quanh SA tạo nên các khối cầu và khối nón có thể tích tương ứng \({V_1},\,{V_2}\). Khẳng định nào dưới đây đúng?
.png)
