Cho 1 chiếc cổng có dạng là một parabol \(\left( P \right)\) có kích thước như hình vẽ, biết chiều cao cổng bằng \(4\,m\,,\,AB\,=\,4\,m\). Người ta thiết kế cửa đi là một hình chữ nhật \(CDEF\,\), phần còn lại dùng để trang trí. Biết chi phí phần tô đậm là 1.000.000 đồng/\({{m}^{2}}\). Hỏi số tiền ít nhất dùng để trang trí phần tô đậm gần với số tiền nào dưới đây?
.PNG)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTrước hết, ta chọn hệ trục tọa độ\(Oxy\), như hình vẽ
Từ hình vẽ, ta có parabol \(\left( P \right)\) có dạng:\(y=a{{x}^{2}}+b\,;\,a\,,\,b\,\in \mathbb{R}\).
Do \(\left( P \right)\) qua hai điểm có tọa độ là \(\left( 2\,;\,\,0 \right)\,,\,\left( 0\,;\,4 \right)\) nên \(\left( P \right)\) có phương trình \(y=-{{x}^{2}}+4\).
Ta có, diện tích của \(\left( P \right)\) tạo với trục hoành là: \(S=\int_{-2}^{2}{\left( -{{x}^{2}}+4 \right)\text{d}}x=\frac{32}{3}\,{{m}^{2}}\).
Ta gọi điểm \(C\left( a\,;\,0 \right)\Rightarrow D\left( 0\,;\,-{{a}^{2}}+4 \right)\,;\,0
Do đó, diện tích của hình chữ nhật\(CDEF\) là:\({{S}_{CDEF}}\,=\,2a\left( 4-{{a}^{2}} \right)=8a-2{{a}^{3}}\).
Theo đề bài, để phần trang trí, có chi phí nhỏ nhất thì diện tích của hình chữ nhật \(CDEF\) đạt giá trị lớn nhất.
Do cổng chào đối xứng qua trục tung nên ta đặt: \(g\left( a \right)=\frac{{{S}_{CDEF}}}{2}=4a-{{a}^{3}}\,,\,0
\(\Rightarrow g'\left( a \right)=4-3{{a}^{2}}\,\Rightarrow g'\left( a \right)=0\Rightarrow a=\frac{2\sqrt{3}}{3}\).
Ta có, BBT:
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra diện tích hình chữ nhật \(CDEF\) đạt giá trị lớn nhất là
\(\frac{32\sqrt{3}}{9}\,{{m}^{2}}\). Vậy, diện tích nhỏ nhất của phần dùng để trang trí là \(\frac{96-32\sqrt{3}}{9}\,{{m}^{2}}\).
Do đó, số tiền ít nhất dùng để trang trí phần tô đậm là \(\left( \frac{96-32\sqrt{3}}{9} \right).1000000=\,4508263,795\approx \,4.509.000\) đồng/\({{m}^{2}}\).
Chọn D
Đề thi thử Tốt nghiệp THPT môn Toán năm 2023-2024
Trường THPT Trần Hữu Trang
Câu hỏi liên quan
-
Trong không gian \(Oxyz\), mặt cầu có tâm \(I\left( -1;2;-3 \right)\) và đi qua điểm \(A\left( 2;0;0 \right)\) có phương trình là?
-
Trong không gian \(Oxyz\), khoảng cách giữa \(\left( P \right):x+2y+2z=0\) & \(\left( Q \right):x+2y+2z-12=0\) bằng?
-
Đường cong trong hình bên là đồ thị của hàm số nào?
-
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh bằng 1. Biết k/c từ \(A\) đến mp \(\left( SBC \right)\) là \(\frac{\sqrt{6}}{4}\), từ \(B\) đến mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) là \(\frac{\sqrt{15}}{10}\), từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) là \(\frac{\sqrt{30}}{20}\).và hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống đáy nằm trong tam giác \(ABC\). Thể tích khối chóp \(S.ABC\) bằng?
-
Cho hình nón có thiết diện qua trục là 1 tam giác cân có góc ở đỉnh bằng \({{120}^{0}}\), cạnh bên bằng \(2\). Chiều cao \(h\) của hình nón là?
-
Tại SEA Games 2019, môn bóng chuyền nam có 8 đội bóng tham dự, trong đó có 2 đôi Việt Nam và Thái Lan. Các đội bóng được chia ngẫu nhiên thành 2 bảng có số đội bóng bằng nhau. Xác suất để hai đội Việt Nam và Thái Lan nằm hai bảng khác nhau bằng?
-
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(\left( 1-i \right)\overline{z}=5+i\). Cho biết số phức \(\text{w}=2z+i\) là?
-
Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-3x+2\) có đồ thị như hình dưới. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để phương trình \({{x}^{3}}-3x+2-2m=0\) có 3 nghiệm thực phân biệt?
.PNG)
-
Cho khối lập phương có độ dài đường chéo bằng \(\sqrt{3}\). Tính thể tích khối lập phương đó?
-
Cho 2 số thực \(a\),\(b\) thoả mãn \(2{{\log }_{3}}\left( a-2b \right)={{\log }_{3}}a+{{\log }_{3}}b\) và \(a>2b>0\). Khi đó \(\frac{a}{b}\) bằng?
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho \(A\left( 0\,;\,1\,;\,1 \right)\), \(B\left( 2\,;\,-1\,;\,1 \right)\), \(C\left( 4\,;\,1\,;\,1 \right)\) và \(\left( P \right)\,:\,x+\,y+z-6\,=\,0\). Xét điểm \(M\left( a\,;\,b\,;\,c \right)\) thuộc \(\left( P \right)\) sao cho \(\left| \overrightarrow{MA}+2\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC} \right|\) đạt GTNN. Giá trị của \(\,2a+4b+c\) bằng?
-
Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để BPT \({{x}^{6}}+3{{x}^{4}}-{{m}^{3}}{{x}^{3}}+4{{x}^{2}}-mx+2\ge 0\) đúng với mọi \(x\in \left[ 1;3 \right]\). Tổng của tất cả các phần tử thuộc \(S\) bằng?
-
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có \(SA=SB=SC=SD=4\sqrt{11}\) và đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(8\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình sau:
Mệnh đề nào sau đây đúng về hàm số đó?
-
Cho phương trình \({{3}^{x}}\left( {{3}^{2x}}+1 \right)-\left( {{3}^{x}}+m+2 \right)\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}=2\sqrt{{{3}^{x}}+m+3}\), với \(m\) là tham số. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên âm của \(m\) để phương trình có nghiệm thực?
-
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình sau \({{\log }_{2}}\left| {{x}^{2}}+2x-3 \right|-{{\log }_{2}}\left| x+3 \right|=3\) bằng?
-
Cho một vật chuyển động chậm dần đều với vận tốc \(v(t)=180-20t\,\left( m/s \right)\). Tính quãng đường mà vật di chuyển được từ thời điểm \(t=0\,(~s\,)\) đến thời điểm mà vật dừng lại?
-
Môđun của số phức sau đây \(z=(-4+3i).i\) bằng?
-
Họ nguyên hàm của hàm số sau đây \(f\left( x \right)=\frac{1}{x}\) là?
-
Cho số phức \(z\) thỏa mãn \(z+2i.\overline{z}=1+17i\). Khi đó giá trị của \(\left| z \right|\) bằng?
