Chọn phát biểu đúng dưới đây:

\(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n} + 1}}} \) là chuỗi phân kỳ

\(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n} }}} \) là chuỗi phân kỳ

\(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{4n}}{{{3^n} + 10}}} \) là chuỗi hội tụ

\(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{e^{ - n}}} \) là chuỗi hội tụ

Đáp án đúng: D

Ta xét từng đáp án: Đáp án 1: Chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n} + 1}}} \) có \(u_n = \frac{1}{{{3^n} + 1}} \). Ta so sánh với chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n}}}} \) có \(v_n = \frac{1}{{{3^n}}} \). Vì \(\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{1}{{{3^n} + 1}}}}{{\frac{1}{{{3^n}}}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{{3^n}}}{{{3^n} + 1}} = 1\) mà chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n}}}} \) là chuỗi hình học có công bội \(q = \frac{1}{3} < 1\) nên hội tụ. Vậy chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n} + 1}}} \) hội tụ. Do đó, đáp án 1 sai. Đáp án 2: Chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1}{{{3^n} }}} \) là chuỗi hình học có công bội \(q = \frac{1}{3} < 1\) nên hội tụ. Do đó, đáp án 2 sai. Đáp án 3: Chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{4n}}{{{3^n} + 10}}} \) có \(u_n = \frac{{4n}}{{{3^n} + 10}} > 0\). Xét \(\mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{u_{n + 1}}}{{{u_n}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{\frac{{4(n + 1)}}{{{3^{n + 1}} + 10}}}}{{\frac{{4n}}{{{3^n} + 10}}}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{(n + 1)({3^n} + 10)}}{{n({3^{n + 1}} + 10)}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{n{3^n} + 10n + {3^n} + 10}}{{n{3^{n + 1}} + 10n}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{{3^n}(n + \frac{{10n}}{{{3^n}}} + 1 + \frac{{10}}{{{3^n}}})}}{{{3^{n + 1}}(n + \frac{{10n}}{{{3^{n + 1}}}})}} = \mathop {lim}\limits_{n \to \infty } \frac{{n + \frac{{10n}}{{{3^n}}} + 1 + \frac{{10}}{{{3^n}}}}}{{3(n + \frac{{10n}}{{{3^{n + 1}}}})}} = \frac{1}{3} < 1\). Vậy chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{{4n}}{{{3^n} + 10}}} \) hội tụ. Do đó, đáp án 3 đúng. Đáp án 4: Chuỗi \(\sum\limits_{n = 1}^\infty {{e^{ - n}}} \) là chuỗi hình học có công bội \(q = \frac{1}{e} < 1\) nên hội tụ. Do đó, đáp án 4 đúng. Vì đề bài yêu cầu chọn một đáp án đúng duy nhất, ta chọn đáp án 3 vì nó tổng quát hơn, cần nhiều bước tính toán để chứng minh hơn so với đáp án 4.