Đáp án đúng: C
Để chuyển đổi hàm truyền $G(s) = \frac{20}{s^2 + 2s - 3}$ sang phương trình trạng thái, chúng ta sẽ sử dụng dạng điều khiển chuẩn (controllable canonical form).
Hàm truyền có dạng tổng quát: $G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{b_m s^m + \dots + b_1 s + b_0}{s^n + a_{n-1} s^{n-1} + \dots + a_1 s + a_0}$.
Trong trường hợp này, hàm truyền là $G(s) = \frac{20}{s^2 + 2s - 3}$.
Ta có thể xác định các hệ số:
* Tử số là $b_0 = 20$ (vì không có các số mũ $s$ cao hơn, nên $m=0$).
* Mẫu số là $s^2 + 2s - 3$, vậy $n=2$.
* Hệ số của $s^1$ là $a_1 = 2$.
* Hệ số của $s^0$ (hằng số) là $a_0 = -3$.
Đối với hệ thống bậc 2 có tử số là hằng số, phương trình trạng thái dạng điều khiển chuẩn được xác định như sau (với giả định đầu ra $y = x_1$):
$\dot{x} = Ax + Bu$
$y = Cx$
Trong đó:
$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -a_0 & -a_1 \end{bmatrix}$
$B = \begin{bmatrix} 0 \\ b_0 \end{bmatrix}$
$C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$
Thay các giá trị $a_0 = -3$, $a_1 = 2$ và $b_0 = 20$ vào các ma trận:
$A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -(-3) & -(2) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$
$B = \begin{bmatrix} 0 \\ 20 \end{bmatrix}$
$C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$
Bây giờ chúng ta so sánh kết quả này với các phương án đã cho:
* **Phương án 0:** $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&3\\ { - 3}&{ - 2} \end{array}} \right]{\rm{ ; B = }}\left[ \begin{array}{l} 20\\ 0 \end{array} \right]{\rm{ ; C = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right]$ (Sai ma trận A và B)
* **Phương án 1:** $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ { - 2}&{ - 1} \end{array}} \right]{\rm{ ; B = }}\left[ \begin{array}{l} 0\\ 20 \end{array} \right]{\rm{ ; C = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right]$ (Sai ma trận A)
* **Phương án 2:** $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&1\\ { - 8}&{ - 2} \end{array}} \right]{\rm{ ; B = }}\left[ \begin{array}{l} 0\\ 20 \end{array} \right]{\rm{ ; C = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right]$ (Sai ma trận A)
* **Phương án 3:** $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ 3&{ - 2} \end{array}} \right]{\rm{ ; B = }}\left[ \begin{array}{l} 0\\ 20 \end{array} \right]{\rm{ ; C = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right]$ (Chính xác)
Vậy, phương án 3 là đáp án đúng.
