Cho hàm truyền \(G(s) = \frac{{ - 2}}{{{s^2} + 2s + 8}}\) hãy lập phương trình trạng thái

Để chuyển đổi hàm truyền $G(s) = \frac{{ - 2}}{{{s^2} + 2s + 8}}$ sang phương trình trạng thái dưới dạng $\dot{x} = Ax + Bu$ và $y = Cx + Du$, chúng ta có thể sử dụng dạng chính tắc điều khiển được (Controllable Canonical Form). **1. Xác định các hệ số:** Hàm truyền có dạng tổng quát $G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)} = \frac{{b_m s^m + \dots + b_1 s + b_0}}{{{s^n} + {a_{n - 1}}{s^{n - 1}} + \dots + {a_1}s + {a_0}}}$. Từ hàm truyền đã cho $G(s) = \frac{{ - 2}}{{{s^2} + 2s + 8}}$, chúng ta có thể xác định các hệ số: * Bậc của mẫu số $n = 2$. * Hệ số của mẫu số: $a_1 = 2$, $a_0 = 8$. * Hệ số của tử số: $b_0 = -2$ (và $b_1 = 0$ do không có số hạng $s$ ở tử số). **2. Dạng chính tắc điều khiển được (Controllable Canonical Form):** Đối với một hàm truyền có dạng $\frac{b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \dots + a_0}$, các ma trận trạng thái chuẩn trong dạng chính tắc điều khiển được là: $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1&\dots&0\\ 0&0&\dots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\ 0&0&\dots&1\\ { - {a_0}}&{ - {a_1}}&\dots&{ - {a_{n - 1}}} \end{array}} \right]$, $B = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ \vdots\\ 0\\ 1 \end{array}} \right]$, $C = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_0}}&{{b_1}}&\dots&{{b_{n - 1}}} \end{array}} \right]$ (hoặc $C = \begin{bmatrix} b_0 & 0 & \dots & 0 \end{bmatrix}$ nếu tử số chỉ có $b_0$). Áp dụng cho $n=2$, $a_1=2$, $a_0=8$, $b_0=-2$, ta có: $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ { - {a_0}}&{ - {a_1}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ { - 8}&{ - 2} \end{array}} \right]$ $B_{chuẩn} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 1 \end{array}} \right]$ $C_{chuẩn} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_0}}&0 \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}&0 \end{array}} \right]$ **3. So sánh với các phương án và điều chỉnh:** Các phương án được đưa ra thường không hoàn toàn tuân thủ một dạng chính tắc cụ thể mà có thể là một biến thể hợp lệ. Ta thấy ma trận A trong phương án C khớp với ma trận A của dạng chính tắc điều khiển được. Phương án C đề xuất: $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ { - 8}&{ - 2} \end{array}} \right]{\rm{ ; B = }}\left[ \begin{array}{l} 0\\ - 2 \end{array} \right]{\rm{ ; C = }}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right]$ Để kiểm tra xem đây có phải là một biểu diễn trạng thái hợp lệ hay không, ta tính hàm truyền từ các ma trận này: $G(s) = C(sI - A)^{-1} B$ Với $A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0&1\\ { - 8}&{ - 2} \end{array}} \right]$, ta có $sI - A = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} s&{ - 1}\\ 8&{s + 2} \end{array}} \right]$. Phần định thức của $(sI - A)$ là $\det(sI - A) = s(s+2) - (-1)(8) = s^2 + 2s + 8$. Ma trận nghịch đảo là $(sI - A)^{-1} = \frac{1}{{{s^2} + 2s + 8}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {s + 2}&1\\ { - 8}&s \end{array}} \right]$. Bây giờ tính $C(sI - A)^{-1} B$: $G(s) = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right] \frac{1}{{{s^2} + 2s + 8}}\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {s + 2}&1\\ { - 8}&s \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ { - 2} \end{array}} \right]$ $G(s) = \frac{1}{{{s^2} + 2s + 8}} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {(s+2)0 + 1(-2)}\\ {-8(0) + s(-2)} \end{array}} \right]$ $G(s) = \frac{1}{{{s^2} + 2s + 8}} \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} 1&0 \end{array}} \right] \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ { - 2s} \end{array}} \right]$ $G(s) = \frac{1}{{{s^2} + 2s + 8}} (1 \cdot (-2) + 0 \cdot (-2s)) = \frac{{ - 2}}{{{s^2} + 2s + 8}}$ Kết quả này khớp hoàn toàn với hàm truyền đã cho. **Giải thích về sự khác biệt B, C so với dạng chuẩn:** So với dạng chính tắc điều khiển được chuẩn $B_{chuẩn} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ và $C_{chuẩn} = \begin{bmatrix} -2 & 0 \end{bmatrix}$, phương án C có $B = \begin{bmatrix} 0 \\ -2 \end{bmatrix}$ và $C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$. Ta có $B = (-2)B_{chuẩn}$. Nếu ta nhân ma trận B với một hằng số $k = -2$, để giữ nguyên hàm truyền, ta phải nhân ma trận C với $1/k = 1/(-2)$. $C = \frac{1}{-2} C_{chuẩn} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}$. Điều này hoàn toàn khớp với ma trận C trong phương án C. **Kết luận:** Phương án C là đáp án đúng. **Các phương án khác sai vì:** * **A:** Ma trận A có $a_0=3$ và $a_1=8$, không khớp với hàm truyền. * **B:** Ma trận A có $a_0=2$ và $a_1=1$, không khớp với hàm truyền. * **D:** Ma trận A không có cấu trúc dạng chính tắc điều khiển được (phần tử $A_{1,1}$ phải là 0).