Trong không gian Oxyz, cho hai điểm \(A\left( 0;1;2 \right)\) và \(B\left( \sqrt{3};1;3 \right)\) thoả mãn \(AB\bot BC,AB\bot AD, AD\bot BC\). Gọi (S) là mặt cầu có đường kính AB, đường thẳng CD di động và luôn tiếp xúc với mặt cầu (S). Gọi \(E\in AB,F\in CD\) và EF là đoạn vuông góc chung của AB và CD. Biết rằng đường thẳng \((\Delta )\bot EF;(\Delta )\bot AB\) và \(d\left( A;\left( \Delta \right) \right)=\sqrt{3}\) . Khoảng cách giữa \(\Delta \) và CD lớn nhất bằng
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png)
\(A\left( 0;1;2 \right)\) và \(B\left( \sqrt{3};1;3 \right)\) suy ra \(\overrightarrow{AB}=\left( \sqrt{3};0;1 \right)\Rightarrow AB=2\)
Ta có: hình lập phương có cạnh bằng độ dài cạnh AB=2 và mặt cầu (S) có bán kính bằng EF tiếp xúc với các mặt của hình lập phương trên, gọi F là trung điểm CD thì suy ra CD luôn tiếp xúc với mặt cầu (S)
Từ hình vẽ trên ta cũng suy ra được \(d\left( A;\Delta \right)=AM=a\sqrt{3}\) với M thuộc đường tròn thiết diện qua tâm mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng chứa CD và khoảng cách giữa \(\Delta \) và CD bằng \(M{F}'\) với \(M{F}'\) vuông góc mặt phẳng chứa CD
Suy ra khoảng cách giữa \(\Delta \) và CD lớn nhất bằng \(M{F}'=MJ+J{F}'\) như hình vẽ trên
Từ đây ta có: \(MB=\sqrt{A{{B}^{2}}-MA{{}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2R \right)}^{2}}-MA{{}^{2}}}=\sqrt{{{\left( 2 \right)}^{2}}-{{\left( \sqrt{3} \right)}^{2}}}=1\)
Xét \(\Delta AMB\) vuông tại M có \(MJ\bot AB\) nên ta có: \(\frac{1}{M{{J}^{2}}}=\frac{1}{MA{{}^{2}}}+\frac{1}{MB{{}^{2}}}\) (hệ thức lượng)
Suy ra \(MJ=\frac{MA.MB}{\sqrt{MA{{}^{2}}+MB{{}^{2}}}}=\frac{\sqrt{3}}{2};JF=\frac{AB}{2}=\frac{2}{2}=1\);
Như vậy ta suy ra khoảng cách giữa \(\Delta \) và CD lớn nhất bằng
\(M{F}'=MJ+J{F}'=\frac{\sqrt{3}}{2}+1=\frac{\sqrt{3}+2}{2}\).
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Trần Văn Giàu lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có bảng biến thiên như sau:
.png)
Hàm số đạt cực tiểu tại
-
Hàm số \(f\left( x \right)=\cos \left( 4x+5 \right)\) có một nguyên hàm là
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm \(I\left( -5;0;5 \right)\) là trung điểm của đoạn MN, biết \(M\left( 1;-4;7 \right)\). Tìm tọa độ của điểm N.
-
Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu \(\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}-2x+4y-6z+3=0\). Tâm của \(\left( S \right)\) có tọa độ là
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=3-7i\) và \({{z}_{2}}=2+3i\). Tìm số phức \(z={{z}_{1}}+{{z}_{2}}\).
-
Cho các hàm số \(f\left( x \right)\) và \(F\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa \({F}'\left( x \right)=f\left( x \right),\forall x\in \mathbb{R}.\). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)\text{d}x}\) biết \(F\left( 0 \right)=2,F\left( 1 \right)=6\).
-
Điểm biểu diễn hình học của số phức z=2-3i là điểm nào trong các điểm sau đây?
-
Cho khối lập phương \(ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'\) có đường chéo \(A{C}'\) bằng \(a\sqrt{3},(a>0).\) Thể tích của khối lập phương đã cho bằng
-
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{3x - 5}}{{4x - 8}}\) là
-
Xác định m để mặt phẳng (P):3x-4y+2z+m=0 đi qua điểm A(3;1;-2).
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông cân tại C,BC=a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA=a. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) bằng
-
Tập nghiệm của bất phương trình \(({{3}^{2x}}-9)({{3}^{x}}-\frac{1}{27})\sqrt{{{3}^{x+1}}-1}\le 0\) chứa bao nhiêu số nguyên ?
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA=3a và SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
-
Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng \({{\Delta }_{1}}:\,\frac{x}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-1}{3}\) và \({{\Delta }_{2}}:\,\frac{x+2}{-1}=\frac{y}{-2}=\frac{z-1}{3}\) cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\). Đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi \({{\Delta }_{1}}, {{\Delta }_{2}}\) và nằm trong mặt phẳng \(\left( P \right)\) có một véctơ chỉ phương là
-
Hàm số nào dưới đây đồng biến trên khoảng \(\left( -\infty ;+\infty \right)\)?
-
Một lớp học có 25 học sinh nam và 17 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra một học sinh nam và một học sinh nữ trong lớp học này đi dự trại hè của trường?
-
Tích phân \(\int\limits_1^2 {2{x^4}} {\rm{d}}x\) bằng
-
Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)=4x+\sin x\) là
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, đường thẳng SO vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABCD \right)\). Biết \(AB=SB=a\sqrt{2}, SO=a\). Tính tan của góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAB \right)\) và \(\left( SAD \right).\)
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình vẽ bên?
.jpg.png)
