Trong không gian Oxyz, cho ba điểm \(A\left( 2;-2;4 \right),B\left( -3;3;-1 \right),C\left( -1;-1;-1 \right)\) và mặt phẳng \(\left( P \right):2x-y+2z+8=0.\) Xét điểm M thay đổi thuộc \(\left( P \right)\), tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(T=2M{{A}^{2}}+M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}.\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiGọi I là điểm thỏa mãn: \(2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow 2\left( \overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OI} \right)+\left( \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OI} \right)-\left( \overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OI} \right)=\overrightarrow{0}\)
\(\Leftrightarrow \overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}-\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}=\left( 1;0;4 \right)\)
\(\Leftrightarrow I\left( 1;0;4 \right).\)
Khi đó, với mọi điểm \(M\left( x;y;z \right)\in \left( P \right),\) ta luôn có
\(T=2{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IA} \right)}^{2}}+{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IB} \right)}^{2}}-{{\left( \overrightarrow{MI}+\overrightarrow{IC} \right)}^{2}}\)
\(=2{{\overrightarrow{MI}}^{2}}+2\overrightarrow{MI}.\left( 2\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{IB}-\overrightarrow{IC} \right)+2{{\overrightarrow{IA}}^{2}}+{{\overrightarrow{IB}}^{2}}-{{\overrightarrow{IC}}^{2}}\)
\(=2M{{I}^{2}}+2I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}.\)
Ta tính được \(2I{{A}^{2}}+I{{B}^{2}}-I{{C}^{2}}=30.\)
Do đó, T đạt GTNN \(\Leftrightarrow MI\) đạt GTNN \(\Leftrightarrow MI\bot \left( P \right).\)
Lúc này, \(IM=d\left( I,\left( P \right) \right)=\frac{\left| 2.1-0+2.4+8 \right|}{\sqrt{{{2}^{2}}+{{\left( -1 \right)}^{2}}+{{2}^{2}}}}=6.\)
Vậy \({{T}_{\min }}={{2.6}^{2}}+30=102.\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Thủ Khoa Huân lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho hình lăng trụ đều ABC.A'B'C' có tất cả các cạnh bằng nhau và bằng 2a (minh họa như hình vẽ). Cosin của góc hợp bởi \(\left( A'BC \right)\) và \(\left( ABC \right)\) bằng
.png)
-
Cho các số phức \({{z}_{1}}=1+3i,{{z}_{2}}=-5-3i\). Tìm điểm \(M\left( x;y \right)\) biểu diễn số phức \({{z}_{3}}\), biết rằng trong mặt phẳng phức điểm M nằm trên đường thẳng x-2y+1=0 và mô đun số phức \(\text{w}=3{{z}_{3}}-{{z}_{2}}-2{{z}_{1}}\) đạt giá trị nhỏ nhất.
-
Cho hai số phức \({{z}_{1}}=5i\) và \({{z}_{2}}=2020+i.\) Phần thực của số \({{z}_{1}}{{z}_{2}}\) bằng
-
Cho cấp số cộng \(\left( {{u}_{n}} \right)\) có \({{u}_{4}}=-12\) và \({{u}_{14}}=18.\) Giá trị công sai của cấp số cộng đó là
-
Số nghiệm nguyên của bất phương trình \({\left( {\frac{1}{3}} \right)^{2{x^2} - 3x - 7}} > {3^{2x - 21}}\) là
-
Tính \(\int {\left( {x - \sin 2x} \right)dx.} \)
-
Cho \(\int\limits_{0}^{1}{f\left( x \right)dx=2}\) và \(\int\limits_{0}^{1}{g\left( x \right)dx=5}\). Tính \(\int\limits_{0}^{1}{\left( f\left( x \right)-2g\left( x \right) \right)dx}\).
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R},\) có đồ thị như hình vẽ.
.jpg.png)
Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số a để hàm số \(y=\left| f\left( \frac{8x}{{{x}^{2}}+1} \right)+a-1 \right|\) có giá trị lớn nhất không vượt quá 20?
-
Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right)=x{{\left( x-1 \right)}^{2}}{{\left( x-2 \right)}^{5}}{{\left( x-3 \right)}^{7}}.\) Số điểm cực trị của hàm số đã cho là
-
Cho x,y>0 và \(\alpha ,\beta \in \mathbb{R}.\) Khẳng định nào sau đây sai ?
-
Cho hình chóp S.ABCD có \(SA\bot \left( ABCD \right),\) đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết AD=2a,SA=a. Khoảng cách từ A đến \(\left( SCD \right)\) bằng
-
Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) là
-
Người ta muốn xây bể chứa nước dạng hình chữ nhật không nắp có thể tích \(200\text{ }{{m}^{3}}.\) Đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê công nhân xây bể là 300.000 đồng/\({{m}^{2}}.\) Chi phí thuê công nhân thấp nhất là
-
Cho hàm số \(f\left( x \right).\) Biết hàm số \(f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình dưới đây. Trên \(\left[ -4;3 \right],\) hàm số \(g\left( x \right)=2f\left( x \right)+{{\left( 1-x \right)}^{2}}\) đạt giá trị nhỏ nhất tại điểm nào?
.jpg.png)
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng \(\left( P \right):x-2y+z-5=0\). Điểm nào dưới đây thuộc \(\left( P \right)?\)
-
\(\int\limits_0^1 {{e^{3x + 1}}dx} \) bằng
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.jpg.png)
-
Phương trình \({3^{{x^2} - 2x}} = 1\) có nghiệm là
-
Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{-2}=\frac{z-5}{3}.\) Vectơ sau đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d?
-
Cho \(f\left( x \right)\) là hàm đa thức bậc 3 có đồ thị như hình vẽ. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M có hoành độ bằng -2 cắt đồ thị tại điểm thứ hai \(N\left( 1;1 \right)\) cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 4. Biết diện tích phần gạch chéo là \(\frac{9}{16}.\) Tích phân \(\int\limits_{-1}^{1}{f\left( x \right)dx}\) bằng
.jpg.png)
