Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn tâm O và O’, bán kính đáy R, chiều cao \(R\sqrt 2 \). Mặt phẳng (P) đi qua OO' cắt hình trụ theo một thiết diện có diện tích bằng bao nhiêu?

Cho hàm số \(y = f(x),\;x \in \left[ { - 2;3} \right]\) có đồ thị như hình vẽ. Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn [-2;3]. Giá trị của biểu thức \({2^m} + {\log _9}M\) bằng

Trong không gian Oxyz, cho \({d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\), \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 - t}\\
{y = 3}\\
{z = t}
\end{array}} \right.\). Tìm phương trình của mặt phẳng (P) sao cho \(d_1, d_2\) nằm về hai phía của (P) và (P) cách đều \(d_1, d_2\).

Cho biết \(\int\limits_1^3 {\frac{{dx}}{{{e^x} - 1}}}  = a\ln ({e^2} + e + 1) - 2b\) với a, b là các số nguyên. Tính K = a + b 

Mặt phẳng đi qua điểm A(1;1;1) và vuông góc với hai mặt phẳng \(x + y - z - 2 = 0,{\rm{ }}x - y + z - 1 = 0\) có phương trình là

Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC, thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng \(\sqrt 3 {a^3}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng

Cho hàm số \(y = {x^3} - 3x + 1\) có đồ thị là hình vẽ bên. Tìm m để phương trình \(\left| {{x^3} - 3x + 1} \right| = m\) có 6 nghiệm thực phân biệt

Tính thể tích V của khối hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' biết \(AB = a,AD = 2a,AC' = a\sqrt {14} \).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng \(d:\frac{{x - 1}}{{ - 1}} = \frac{{y + 3}}{2} = \frac{{z - 3}}{1}\) và cho mặt phẳng \(\left( P \right):{\rm{ }}2x + y - 2z + 9 = 0\). Tọa độ giao điểm của d và (P) là

Biết \(\int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} .\ln x}}{x}} dx = \frac{a}{b}\); trong đó a, b là 2 số nguyên dương và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Mệnh đề nào dưới đây sai ?

Cho số phức \({\rm{w}} = (1 + i\sqrt 3 )z + 2\), trong đó z là số phức thỏa mãn \(\left| {z - 1} \right| \le 2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 4{x^3} - 1\) là

Hàm số \(y =  - {x^4} + 2{x^2} + 3\) đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ? 

Đường thẳng đi qua M(2;0;-3) và song song với đường thẳng \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{3} = \frac{z}{4}\) có phương trình là

Cho các số dương a, b, c. Tính \(S = {\log _2}\frac{a}{b} + {\log _2}\frac{b}{c} + {\log _2}\frac{c}{a}\)

Trong không gian Oxzy, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 2z + 10 = 0\) và cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + \sqrt 2 z - 7 = 0\). Giả sử \(M \in \left( P \right),\;N \in \left( S \right)\) sao cho MN song song với đường thẳng \(\frac{{x - 5}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{{\sqrt 2 }}\). Khoảng cách giữa hai điểm M, N lớn nhất bằng bao nhiêu ?

Một cấp số cộng và một cấp số nhân có cùng các số hạng thứ m +1 , thứ n + 1, thứ p + 1 là 3 số dương a, b, c. Tính \(T = {a^{b - c}}.{b^{c - a}}.{c^{a - b}}\)

Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị trên đoạn [-2;2] như hình vẽ. Hỏi phương trình \(\sqrt {\left| {f(x + 2)} \right| + 3}  = \sqrt[3]{{{f^2}(x) - 2f(x) + 9}}\) có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn [-2;2]

Cho 3 hàm số \(y = f(x),\;y = f\left[ {f(x)} \right],\;y = f({x^2} + 4)\) có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C_1}} \right),{\rm{\;}}\left( {{C_2}} \right),{\rm{\;}}\left( {{C_3}} \right)\). Đường thẳng x = 1 cắt \(\left( {{C_1}} \right),{\rm{\;}}\left( {{C_2}} \right),{\rm{\;}}\left( {{C_3}} \right)\) lần lượt tại các điểm M, N, P. Biết rằng phương trình tiếp tuyến của (C₁) tại M, của (C₂) tại N và của (C₃) tại P lần lượt là \(y = 3x + 2,y = 12x - 5\) và \(y = ax + b\). Tổng a + b bằng

Cho hàm số \(f(x) = \frac{a}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}} + b.x.{e^x}\), biết \(f'\left( 0 \right) =  - 22\) và \(\mathop \smallint \limits_0^1 f(x)dx = 5\). Tính S = a + b.