Biết \(\int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} .\ln x}}{x}} dx = \frac{a}{b}\); trong đó a, b là 2 số nguyên dương và \(\frac{a}{b}\) là phân số tối giản. Mệnh đề nào dưới đây sai ?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai\(\int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} .\ln x}}{x}} dx\)
Đặt
\(\begin{array}{l}
\sqrt {1 + 3\ln x} = t\\
\Rightarrow 1 + 3\ln x = {t^2}\\
\Rightarrow \frac{3}{x}dx = 2tdt\\
\Rightarrow \frac{3}{{x\sqrt {1 + 3{\mathop{\rm lnx}\nolimits} } }}dx = dt\\
\Rightarrow \int\limits_1^e {\frac{{\sqrt {1 + 3\ln x} .\ln x}}{x}} dx = \int\limits_1^2 {\frac{{t.2t\left( {{t^2} - 1} \right)}}{9}} dt\\
= \left. {\frac{2}{{45}}{t^5} - \frac{2}{{27}}{t^3}} \right|_1^2 = \frac{{116}}{{135}}
\end{array}\)
Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2020
Trường THPT Lương Thế Vinh lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho nửa đường tròn đường kính AB, điểm C nằm trên nửa đường tròn này sao cho góc BAC bằng 300, đồng thời cho nửa đường tròn đường kính AD (xem hình vẽ). Tính thểt ích V của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng (H) (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB, biết rằng AB = 2AD và nửa hình tròn đường kính AB có diện tích bằng \(32\pi \).
.png)
-
Giả sử đồ thị (C) của hàm số \(y = \frac{{{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^x}}}{{\ln 2}}\) cắt trục tung tại điểm A và tiếp tuyến của (C) tại A cắt trục hoành tại B. Tính diện tích S của tam giác AOB.
-
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ lên (ABC) trùng với tâm O của tam giác ABC, thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng \(\sqrt 3 {a^3}\). Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BC bằng
-
Cho số phức \({\rm{w}} = (1 + i\sqrt 3 )z + 2\), trong đó z là số phức thỏa mãn \(\left| {z - 1} \right| \le 2\). Mệnh đề nào dưới đây đúng?
-
Tìm các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số \(y = \frac{{(m - 1)x + m}}{{3x + {m^2}}}\) nhận đường thẳng y = 2 làm tiệm cận ngang
-
Trong không gian Oxzy, cho mặt cầu \(\left( S \right):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 6x + 4y - 2z + 10 = 0\) và cho mặt phẳng \(\left( P \right):x - y + \sqrt 2 z - 7 = 0\). Giả sử \(M \in \left( P \right),\;N \in \left( S \right)\) sao cho MN song song với đường thẳng \(\frac{{x - 5}}{1} = \frac{{y + 2}}{1} = \frac{{z - 4}}{{\sqrt 2 }}\). Khoảng cách giữa hai điểm M, N lớn nhất bằng bao nhiêu ?
-
Hội đồng coi thi THPTQG tại huyện X có 30 cán bộ coi thi đến từ 3 trường THPT, trong đó có 12 giáo viên trường A, 10 giáo viên trường B, 8 giáo viên trường C. Chủ tịch hội đồng coi thi gọi ngẫu nhiên 2 cán bộ coi thi nên chứng kiến niêm phong gói đựng bì đề thi. Xác suất để 2 cán bộ coi thi được chọn là giáo viên của 2 trường THPT khác nhau bằng
-
Đường thẳng đi qua M(2;0;-3) và song song với đường thẳng \(\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y + 3}}{3} = \frac{z}{4}\) có phương trình là
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x) = 4{x^3} - 1\) là
-
Cho ba hàm số \(y = f\left( x \right),{\rm{ }}y = g\left( x \right),{\rm{ }}y = h\left( x \right)\). Đồ thị của ba hàm số \(y = f'(x),{\rm{\;}}y = g'(x),{\rm{\;}}y = h'(x)\) được cho như hình vẽ.
.png)
Hàm số \(k(x) = f(x + 7) + g(5x + 1) - h\left( {4x + \frac{3}{2}} \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
-
Cho hình lập phương \(ABCD{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) cạnh a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của \(B{B_1},CD,{A_1}{D_1}\). Góc giữa hai đường thẳng MP và C1N bằng
-
Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị như hình vẽ bên. Mệnh đề nào dưới đây đúng ?
.png)
-
Hàm số \(y = - {x^4} + 2{x^2} + 3\) đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây ?
-
Trong không gian Oxyz, cho \({d_1}:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{2}\), \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 - t}\\
{y = 3}\\
{z = t}
\end{array}} \right.\). Tìm phương trình của mặt phẳng (P) sao cho \(d_1, d_2\) nằm về hai phía của (P) và (P) cách đều \(d_1, d_2\). -
Tìm m để hàm số \(y = {x^4} - 2m{x^2} + {m^2} - 1\) đạt cực tiểu tại \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1}.{x_2} = - 4\)
-
Cho biết \(\int\limits_1^3 {\frac{{dx}}{{{e^x} - 1}}} = a\ln ({e^2} + e + 1) - 2b\) với a, b là các số nguyên. Tính K = a + b
-
Đường thẳng d song song với hai mặt phẳng \(\left( P \right):3x + 12y - 3z - 5 = 0,\;\left( Q \right):3x - 4y + 9z + 7 = 0\) và đồng thời cắt cả hai đường thẳng \({d_1}:\frac{{x + 5}}{2} = \frac{{y - 3}}{{ - 4}} = \frac{{z + 1}}{3}\), \({d_2}:\frac{{x - 3}}{{ - 2}} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{{z - 2}}{4}\) có phương trình là
-
Cho 3 hàm số \(y = f(x),\;y = f\left[ {f(x)} \right],\;y = f({x^2} + 4)\) có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C_1}} \right),{\rm{\;}}\left( {{C_2}} \right),{\rm{\;}}\left( {{C_3}} \right)\). Đường thẳng x = 1 cắt \(\left( {{C_1}} \right),{\rm{\;}}\left( {{C_2}} \right),{\rm{\;}}\left( {{C_3}} \right)\) lần lượt tại các điểm M, N, P. Biết rằng phương trình tiếp tuyến của (C1) tại M, của (C2) tại N và của (C3) tại P lần lượt là \(y = 3x + 2,y = 12x - 5\) và \(y = ax + b\). Tổng a + b bằng
-
Cho hình thang cong (H) giới hạn bởi các đường \(y = {3^x},{\rm{\;}}y = 0,{\rm{\;}}x = 0,{\rm{\;}}x = 2\). Đường thẳng \(x = t{\rm{\;\;}}(0 < t < 2)\) chia (H) thành hai phần có diện tích \(S_1\) và \(S_2\) (như hình vẽ). Tìm t để \({S_1} = 3{S_2}\)
.png)
-
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = 2, các cạnh bên đều bằng 2. Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABC bằng
