Một đề kiểm tra trắc nghiệm 45 phút môn Tiếng Anh của lớp 10 là một đề gồm 25 câu hỏi độc lập, mỗi câu có 4 đáp án trả lời trong đó chỉ có một đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,4 điểm, câu trả lời sai không được điểm. Bạn Bình vì học kém môn Tiếng Anh nên làm bài theo cách chọn ngẫu nhiên câu trả lời cho tất cả 25 câu. Gọi A là biến cố “Bình làm đúng k câu”, biết xác suất của biến cố A đạt giá trị lớn nhất. Tính k.

A. k = 5

B. k = 1

C. k = 25

D. k = 6

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án

Chủ đề: Đề thi THPT QG

Môn: Toán

Lời giải:

Báo sai

Do mỗi câu có 4 đáp án trong đó chỉ có 1 đáp án đúng nên xác suất để trả lời đúng 1 câu là 1/4 và xác suất để trả lời sai 1 câu là 3/4.

Gọi A là biến cố “Bình làm đúng k câu”, xác suất của biến cố A là \(P\left( A \right) = C_{25}^k{\left( {\frac{1}{4}} \right)^k}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{25 - k}}\)

Xét khai triển \(1 = {\left( {\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} \right)^{25}} = \sum\limits_{k = 0}^{25} {C_{25}^k{{\left( {\frac{1}{4}} \right)}^k}{{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^{25 - k}}} \)

Giả sử \({A_k} = C_{25}^k{\left( {\frac{1}{4}} \right)^k}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{25 - k}}\) là số hạng lớn nhất trong khai triển trên ta có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{A_k} > {A_{k - 1}}\\
{A_k} > {A_{k + 1}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
C_{25}^k{\left( {\frac{1}{4}} \right)^k}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{25 - k}} > C_{25}^{k - 1}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{k - 1}}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{26 - k}}\\
C_{25}^k{\left( {\frac{1}{4}} \right)^k}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{25 - k}} > C_{25}^{k + 1}{\left( {\frac{1}{4}} \right)^{k + 1}}{\left( {\frac{3}{4}} \right)^{24 - k}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{25!}}{{k!\left( {25 - k} \right)!}}\frac{1}{4} > \frac{{25!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {26 - k} \right)!}}\frac{3}{4}\\
\frac{{25!}}{{k!\left( {25 - k} \right)!}}\frac{3}{4} > \frac{{25!}}{{\left( {k + 1} \right)!\left( {24 - k} \right)!}}\frac{1}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{k} > \frac{3}{{26 - k}}\\
\frac{3}{{25 - k}} > \frac{1}{{k + 1}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\frac{{26 - k - 3k}}{{k\left( {26 - k} \right)}} > 0\\
\frac{{3k + 3 - 25 + k}}{{\left( {25 - k} \right)\left( {k + 1} \right)}} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
k < \frac{{26}}{4}\\
k > \frac{{22}}{4}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \frac{{22}}{4} < k < \frac{{26}}{4},k \in Z \Rightarrow k = 6
\end{array}\)