Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số : \(y = x\sqrt[3]{{1 - x}};\) \(y = 0;\) \(x = 1;\) \(x = 9\) là
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiXét phương trình hoành độ giao điểm: \(x\sqrt[3]{{1 - x}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0 \notin \left[ {1;9} \right]\\x = 1\end{array} \right.\).
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số \(y = x\sqrt[3]{{1 - x}};\) \(y = 0;\) \(x = 1;\) \(x = 9\) là: \(S = \int\limits_1^9 {\left| {x\sqrt[3]{{1 - x}}} \right|dx} = \left| {\int\limits_1^9 {x\sqrt[3]{{1 - x}}dx} } \right|\)
Đặt \(t = \sqrt[3]{{1 - x}} \Leftrightarrow {t^3} = 1 - x\)\( \Leftrightarrow 3{t^2}dt = - dx.\)
Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = 0\\x = 9 \Rightarrow t = - 2\end{array} \right.\).
Khi đó
\(\begin{array}{l}S = \left| { - 3\int\limits_0^{ - 2} {\left( {1 - {t^3}} \right).t.{t^2}dt} } \right|\\ = \left| {3\int\limits_0^{ - 2} {\left( {{t^6} - {t^3}} \right)dt} } \right|\\ = \left| {\left. {3\left( {\frac{{{t^7}}}{7} - \frac{{{t^4}}}{4}} \right)} \right|_0^{ - 2}} \right|\\ = \left| {3\left( { - \frac{{156}}{7}} \right)} \right| = \frac{{468}}{7}\end{array}\)
