Có bao nhiêu số tự nhiên m để phương trình sau có nghiệm ?\({e^m} + {e^{3m}} = 2\left( {x + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)\left( {1 + x\sqrt {1 - {x^2}} } \right)\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐKXĐ: \(1 - {x^2} \ge 0 \Leftrightarrow - 1 \le x \le 1\).
Đặt \(x + \sqrt {1 - {x^2}} = t\) ta có \({t^2} = {x^2} + 1 - {x^2} + 2x\sqrt {1 - {x^2}} = 1 + 2x\sqrt {1 - {x^2}} \Rightarrow x\sqrt {1 - {x^2}} = \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}\).
Ta có: \(t\left( x \right) = x + \sqrt {1 - {x^2}} ,\,\,x \in \left[ { - 1;1} \right] \Rightarrow t'\left( x \right) = 1 - \dfrac{x}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = \dfrac{{\sqrt {1 - {x^2}} - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = 0\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {1 - {x^2}} = x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\1 - {x^2} = {x^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\{x^2} = \dfrac{1}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow x = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\).
BBT:
.JPG)
Từ BBT ta có: \(t \in \left[ { - 1;\sqrt 2 } \right]\).
Khi đó phương trình trở thành : \({e^m} + {e^{3m}} = 2t\left( {1 + \dfrac{{{t^2} - 1}}{2}} \right) = t\left( {{t^2} + 1} \right) = {t^3} + t\,\,\left( * \right)\).
Xét hàm số \(f\left( t \right) = {t^3} + t\) ta có \(f'\left( t \right) = 3{t^2} + 1 > 0\,\,\forall t \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R} \Rightarrow \) Hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;\sqrt 2 } \right)\).
Từ (*) \( \Rightarrow f\left( {{e^m}} \right) = f\left( t \right) \Leftrightarrow {e^m} = t \Leftrightarrow m = \ln t \Rightarrow m \in \left( {-\infty ;\ln\sqrt 2 } \right) \)
Lại có \(m \in \mathbb {N} \Rightarrow m =0 \)
Chọn D.
Đề thi thử THPT QG năm 2022 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Hữu Huân
Câu hỏi liên quan
-
Cho đường tròn \((T):{(x - 1)^2} + {(y + 2)^2} = 5\) và hai điểm A(3; -1), B(6; -2). Viết phương trình đường thẳng cắt (T) tại hai điểm C, D sao cho ABCD là hình bình hành.
-
Trong không gian \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {0;4\sqrt 2 ;0} \right),\,\,B\left( {0;0;4\sqrt 2 } \right)\), điểm \(C \in mp\left( {Oxy} \right)\) và tam giác \(OAC\) vuông tại \(C\); hình chiếu vuông góc của \(O\) trên \(BC\) là điểm \(H\). Khi đó điểm \(H\) luôn thuộc đường tròn cố định có bán kính bằng:
-
Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = a, \(AD = a\sqrt 3 \), SA vuông góc với đáy và mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60o. Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD.
-
Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình \({4^{{x^2} - x}} + {2^{{x^2} - x + 1}} = 3\) . Tính \(\left| {{x_1} - {x_2}} \right|\)
-
Đồ thị hàm số \(y = {x^3} - 3{x^2} - 9x + 1\) có hai điểm cực trị A và B. Điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng AB ?
-
Số điểm cực trị của hàm số \(f\left( x \right) = \int\limits_{2x}^{{x^2}} {\dfrac{{2tdt}}{{1 + {t^2}}}} \) là:
-
Cho tích phân \(\int\limits_1^5 {\left| {\dfrac{{x - 2}}{{x + 1}}} \right|dx = a + b\ln 2 + c\ln 3} \) với a, b, c là các số nguyên. Tính \(P = abc\).
-
Cho \(\int\limits_1^2 {f\left( x \right)} {\rm{d}}x = 2\) và \(\int\limits_1^2 {\left[ {2f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right]} {\rm{d}}x = 3;\) giá trị \(\int\limits_1^2 {g\left( x \right)} {\rm{d}}x\) bằng
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mặt phẳng \((P):x + 2y - 2z + 1 = 0,\) \((Q):x + my + (m - 1)z + 2019 = 0\). Khi hai mặt phẳng (P), (Q) tạo với nhau một góc nhỏ nhất thì mặt phẳng (Q) đi qua điểm M nào sau đây?
-
Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có thể tích là \(V\). Điểm M nằm trên cạnh AA’ sao cho AM = 2MA’. Gọi \(V'\) là thể tích của khối chóp M.BCC’B’. Tính tỉ số \(\dfrac{{V'}}{V}\).
-
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu \({(x - 1)^2} + {y^2} + {(z + 2)^2} = 6\) đồng thời song song với hai đường thẳng \({d_1}:\dfrac{{x - 2}}{3} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{z}{{ - 1}},{d_2}:\dfrac{x}{1} = \dfrac{{y + 2}}{1} = \dfrac{{z - 2}}{{ - 1}}\).
-
Phương trình \(\sin x = \cos x\) có số nghiệm thuộc đoạn \(\left[ { - \pi ;\pi } \right]\) là:
-
Gọi z1, z2 là các nghiệm của phương trình \({z^2} - 2z + 5 = 0\) . Tính \(P = {\left| {{z_1}} \right|^2} + {\left| {{z_2}} \right|^2}\) .
-
Tìm tập xác định của hàm số \(y = {({x^2} - 3x + 2)^\pi }\).
-
Lớp 11A có 2 tổ. Tổ I có 5 bạn nam, 3 bạn nữ và tổ II có 4 bạn nam, 4 bạn nữ. Lấy ngẫu nhiên mỗi tổ 2 bạn đi lao động. Tính xác suất để trong các bạn đi lao động có đúng 3 bạn nữ.
-
Cho \(a,\,\,b,\,\,c\) là ba số thực dương, \(a > 1\) và thỏa mãn \(\log _a^2\left( {bc} \right) + {\log _a}{\left( {{b^3}{c^3} + \dfrac{{bc}}{4}} \right)^2} + 4 + \sqrt {4 - {c^2}} = 0\). Số bộ \(\left( {a;b;c} \right)\) thỏa mãn điều kiện đã cho là:
-
Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn \(\left| {z - i} \right| = \left| {(1 + i)z} \right|\).
-
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) đồng thời thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 5\). Tính tích phân\(I = \int\limits_0^1 {f'\left( x \right){e^{f\left( x \right)}}{\rm{d}}x} \).
-
Tìm số nghiệm nguyên của bất phương trình \({6^x} + 4 \le {2^{x + 1}} + {2.3^x}\)
-
Bảng biến thiên dưới đây là của hàm số:
.JPG)
