Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thỏa mãn \(0 \le x \le 2020\) và \({\log _2}\left( {4x + 4} \right) + x = y + 1 + {2^y}\)?
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiĐặt \({\log _2}\left( {4x + 4} \right) = t \Leftrightarrow 4x + 4 = {2^t} \Leftrightarrow x = {2^{t - 2}} - 1\).
Từ điều kiện \(0 \le x \le 2020 \Rightarrow 0 \le {2^{t - 2}} - 1 \le 2020 \Leftrightarrow 1 \le t - 1 \le 1 + {\log _2}2021\).
Theo giả thiết ta có: \(t - 1 + {2^{t - 2}} = y + 1 + {2^y}\left( * \right)\).
Xét hàm số \(f\left( u \right) = u + {2^{u - 1}}\) với \(1 \le u \le 1 + {\log _2}2021\).
Có \(f'\left( u \right) = 1 + {2^{u - 1}}.\ln 2 > 0,\forall u \in \left[ {1;1 + {{\log }_2}2021} \right]\) nên hàm f(u) đồng biến trên đoạn \(\left[ {1;1 + {{\log }_2}2021} \right]\).
Dựa vào \(\left( * \right) \Rightarrow f\left( {t - 1} \right) = f\left( {y + 1} \right) \Leftrightarrow t - 1 = y + 1\).
Mặt khác \(1 \le t - 1 \le 1 + {\log _2}2021 \Rightarrow 1 \le y + 1 \le 1 + {\log _2}2021 \Rightarrow 0 \le y \le {\log _2}2021 \approx 10,98\).
Vì \(y \in Z \Rightarrow y \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10} \right\}\).
Vậy có 11 cặp số nguyên thỏa mãn ycbt .
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Nguyễn Văn Cừ
Câu hỏi liên quan
-
Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục trên R và hàm số y = f'(x) có đồ thị như hình vẽ.
.png)
Số điểm cực trị của hàm số là
-
Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua điểm A(1;2;0) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( P \right):2x + 2y - 4z - 5 = 0?\)
-
Tìm tập nghiệm S của bất phương trình \(\log _2^2x - 5{\log _2}x + 4 \ge 0\)
-
Cho hàm số f(x) có đồ thị như sau:
.png)
Số nghiệm thuộc đoạn \([0\,;\,3\pi ]\) của phương trình \(2\left| {f(\cos x)} \right| - 1 = 0\) là
-
Số phức nào sau đây có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ là điểm M như hình bên ?
.png)
-
Cho hàm số y = f(x) có bảng biến thiên như sau
.png)
Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là
-
Nếu \(\int\limits_1^0 {f(x){\rm{d}}x = 3} \) và \(\int\limits_0^1 {g(x){\rm{d}}x = - 4} \) thì \(\int\limits_0^1 {{\rm{[}}f(x) - 2g(x){\rm{]d}}x} \) bằng bao nhiêu?
-
Cho hình nón tròn xoay có chiều cao bằng 3a. Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có diện tích bằng 20a2 và khoảng cách từ tâm đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là \(\frac{{12}}{5}a\). Tính thể tích của khối nón giới hạn bởi hình nón đã cho.
-
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn \(\ln \frac{a}{c} + \ln \frac{b}{c} = 0\). Khẳng định nào sau đây đúng?
-
Diện tích xung quanh của một hình nón có độ dài đường sinh l, bán kính đáy r bằng
-
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} + m\) (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp các giá trị của m sao cho \(\mathop {max}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {min}\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 7\). Tổng các phần tử của S là
-
Trong không gian Oxyz, đường thẳng \(d:\frac{{x - 2}}{1} = \frac{y}{2} = \frac{{z + 1}}{{ - 1}}\) nhận vectơ nào sau đây làm vectơ chỉ phương?
-
Cho khối hộp chữ nhật có độ dài ba kích thước lần lượt là 4; 6 ;8. Thể tích khối hộp chữ nhật đã cho bằng
-
Lớp 11B có 20 học sinh nam và 25 học sinh nữ. Có bao nhiêu cách chọn một đôi song ca gồm 1 nam và 1 nữ?
-
Trong không gian Oxyz, cho điểm M(3;-1;-2) và mặt phẳng (P): 3x - y + 2z + 4 = 0. Mặt phẳng (Q) đi qua M và song song với mặt phẳng (P) có phương trình là
-
Cho khối cầu có thể tích \(V = 288\pi \). Bán kính của khối cầu bằng
-
Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường \(y = {x^2} + 3\), y = 0, x = 1, x = 3. Gọi V là thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox. Mệnh đề nào sau đây đúng?
-
Đồ thị của hàm số nào dưới đây có dạng như đường cong trong hình bên?
.png)
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc giữa SC và mặt đáy bằng 45O. Gọi E là trung điểm cạnh BC (minh họa như hình vẽ bên dưới).
.png)
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DE và SC
-
Tìm số phức z biết \(\overline z = 1 - 2i\) là
