Cho x ,y là các số thực thỏa mãn\(x^{2}-x y+y^{2}=1\). Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của \(P=\frac{x^{4}+y^{4}+1}{x^{2}+y^{2}+1}\) .Giá trị của \(A=M+15 m\) là:
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiTa có:
\(\begin{array}{l} x^{2}-x y+y^{2}=1 \Leftrightarrow 3 x y+1=(x+y)^{2} \geq 0 \Rightarrow x y \geq-\frac{1}{3} \\ x^{2}-x y+y^{2}=1 \Leftrightarrow x y=1-(x-y)^{2} \leq 1 \Rightarrow x y \leq 1 \end{array}\)
Đặt \(t=x y \text { với }-\frac{1}{3} \leq t \leq 1\)
Theo đề bài ta có: \(x^{2}+y^{2}=1+t\)
\(P=\frac{(t+1)^{2}-2 t^{2}+1}{t+2}=\frac{-t^{2}+2 t+2}{t+2}=f(t)\)
\(f^{\prime}(t)=\frac{-t^{2}-4 t+2=0}{(t+2)^{2}} ; f^{\prime}(t)=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l} t=-2+\sqrt{6} \in\left[-\frac{1}{3} ; 1\right] \\ t=-2-\sqrt{6} \notin\left[-\frac{1}{3} ; 1\right] \end{array}\right.\)
Ta có: \(f\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{11}{15} ; f(1)=1 ; f(\sqrt{6}-2)=6-2 \sqrt{6}\)
Khi đó:
\(M=6-2 \sqrt{6} \text { và } m=\frac{11}{15} \Rightarrow M+15 m=6-2 \sqrt{6}+15 \cdot \frac{11}{15}=17-2 \sqrt{6}\)
Đề thi thử tốt nghiệp THPT QG môn Toán năm 2020
Trường THPT Chuyên Trần Phú lần 2
Câu hỏi liên quan
-
Cho số phức z thỏa mãn điều kiện \((1+i) \bar{z}-1-3 i=0\) . Tìm phần ảo của số phức
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu \((S): x^{2}+y^{2}+z^{2}+4 x-2 y+6 z+5=0\) . Mặt cầu (S ) có bán kính là
-
Gọi R là bán kính, S là diện tích mặt cầu và V là thể tích của khối cầu. Công thức nào sau đây sai?
-
Cho hàm số \(y=x^{3}-3 x^{2}+2\). Đồ thị hàm số có điểm cực đại là
-
Mô đun của số phức\(z=12-5 i\) là
-
Họ nguyên hàm của hàm số \(f(x)=5 x^{4}+2\) là:
-
Biết bốn số \(5 ; x ; 15 ; y\) theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Giá trị của \(3 x+2 y\) bằng
-
Cho khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a và bán kính đáy bằng a . Thể tích của khối nón đã cho bằng
-
Cho hàm số ff(x) liên tục trên \(\mathbb{R} \text { và } f(2)=16, \int\limits_{0}^{2} f(x) d x=4\) . Tính \(I=\int_{0}^{4} x f^{\prime}\left(\frac{x}{2}\right) \mathrm{d} x\)
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm \(A(1 ; 1 ; 2), B(2 ;-1 ; 3)\) . Viết phương trình đường thẳng AB .
-
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và D ,\(S A \perp(A B C D)\) . Góc giữa SB và mặt phẳng đáy bằng 45°, E là trung điểm của SD , \(A B=2 a, A D=D C=a\) . Tính khoảng cách từ B đến ( ACE) .
-
Tích phân \(I=\int_{0}^{1} \mathrm{e}^{x+1} \mathrm{d} x\) bằng
-
Cho hàm số \(y=\frac{-x+1}{2 x-1}(C), y=x+m\). Với mọi m đường thẳng ( d) luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và B . Gọi \(k_{1} ; k_{2}\) , lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B . Giá trị nhỏ nhất của \(T=k_{1}^{2020}+k_{2}^{2020}\) bằng
-
Số nào trong các số sau là số thuần ảo?
-
Gọi \(x_{1}, x_{2} \) là hai nghiệm nguyên dương của bất phương trình \(\log _{2}(1+x)<2\) . Tính giá trị của \(P=x_{1}+x_{2}\)
-
Tìm nghiệm của phương trình \(\log _{9}(x+1)=\frac{1}{2}\)
-
Cho hàm số y = f(x) liên tục, nhận giá trị dương trên \(\mathbb{R}\) và có bảng xét dấu đạo hàm như hình vẽ bên dưới:
Hàm số \(y=\log _{2}(f(2 x))\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau:
-
Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho tam giác ABC biết A(2;-1;3 ) và trọng tâm G của tam giác có toạ độ là G(2;1;0). Khi đó \(\overrightarrow {A B}+\overrightarrow {A C}\)có tọa độ là
-
Đồ thị sau là đồ thị của hàm số nào trong bốn hàm số cho dưới đây?
-
Ông A muốn sau 5 năm có 1.000.000.000 đồng để mua ô tô Camry. Biết lãi suất hàng tháng là 0,5% , tiền lãi sinh ra hàng tháng được nhập vào tiền vốn và số tiền gửi hàng tháng là như nhau. Hỏi rằng ông A phải gửi ngân hàng mỗi tháng số tiền gần nhất với số tiền nào sau đây?
