Cho tứ diện SABC và hai điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh SA, SB sao cho \(\frac{SM}{AM}=\frac{1}{2}, \frac{SN}{BN}=2\). Mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua hai điểm M, N và song song với cạnh SC, cắt AC, BC lần lượt tại L, K. Tính tỉ số thể tích \(\frac{{{V}_{SCMNKL}}}{{{V}_{SABC}}}\).
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo sai.png.jpg.png)
Chia khối đa diện SCMNKL bởi mặt phẳng \(\left( NLC \right)\) được hai khối chóp N.SMLC và N.LKC. Vì SC song song với \(\left( MNKL \right)\) nên \(SC\text{ // }ML\text{ // }NK\)
Ta có:
\(\frac{{{V}_{N.SMLC}}}{{{V}_{B.SAC}}}=\frac{\frac{1}{3}\text{d}\left( N;\left( SAC \right) \right).{{S}_{SMLC}}}{\frac{1}{3}\text{d}\left( B;\,\left( SAC \right) \right).{{S}_{\Delta SAC}}}=\frac{NS}{BS}.\left( 1-\frac{{{S}_{\Delta AML}}}{{{S}_{\Delta SAC}}} \right)=\frac{2}{3}\left( 1-\frac{AM}{AS}.\frac{AL}{AC} \right)=\frac{2}{3}\left( 1-\frac{2}{3}.\frac{2}{3} \right)=\frac{10}{27}\).
\(\frac{{{V}_{N.KLC}}}{{{V}_{S.ABC}}}=\frac{\frac{1}{3}\text{d}\left( N;\left( ABC \right) \right).{{S}_{\Delta KLC}}}{\frac{1}{3}\text{d}\left( S;\left( ABC \right) \right).{{S}_{\Delta ABC}}} =\frac{NB}{SB}.\frac{LC}{AC}.\frac{CK}{CB} =\frac{1}{3}.\frac{1}{3}.\frac{2}{3} =\frac{2}{27}\).
Suy ra \(\frac{{{V}_{SCMNKL}}}{{{V}_{SABC}}}= \frac{{{V}_{N.SMLC}}}{{{V}_{B.SAC}}}+\frac{{{V}_{N.KLC}}}{{{V}_{S.ABC}}} =\frac{10}{27}+\frac{2}{27} =\frac{4}{9}\).
