Cho phương trình \({{27}^{x}}+3x{{.9}^{x}}+\left( 3{{x}^{2}}+1 \right){{3}^{x}}=\left( {{m}^{3}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right)x,m\) là tham số. Biết rằng giá trị \(m\) nhỏ nhất để phương trình đã cho có nghiệm trên \(\left( 0;+\infty \right)\) là \(a+e\ln b,\) với \(a,b\) là các số nguyên. Giá trị của biểu thức \(17a+3b\)
Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi xem đáp án
Lời giải:
Báo saiPhương trình đã cho tương đương
\({{\left( {{3}^{x}} \right)}^{3}}+3x.{{\left( {{3}^{x}} \right)}^{2}}+\left( 3{{x}^{2}}+1 \right){{.3}^{x}}=\left( {{m}^{3}}-1 \right){{x}^{3}}+\left( m-1 \right)x\)
\(\Leftrightarrow {{\left( {{3}^{x}}+x \right)}^{3}}+{{3}^{x}}+x={{\left( mx \right)}^{3}}+mx\left( * \right)\)
Xét hàm số \(f\left( u \right)={{u}^{3}}+u,f'\left( u \right)=3{{u}^{2}}+1>0,\forall u\in \mathbb{R}.\)
Phương trình (*) tương đương \(f\left( {{3}^{x}}+x \right)=f\left( mx \right)\)
Nên \({{3}^{x}}+x=mx\Leftrightarrow m=\frac{{{3}^{x}}}{x}+1,x>0.\)
Xét hàm số \(g\left( x \right)=\frac{{{3}^{x}}}{x}+1,x>0.\)
Ta có \(g'\left( x \right)=\frac{{{3}^{x}}\left( x\ln 3-1 \right)}{{{x}^{2}}}\Rightarrow g'\left( x \right)=0\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}e.\)
.png)
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi \(m \ge g\left( {{{\log }_3}e} \right) = 1 + e\ln 3 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x = 1\\ b = 3 \end{array} \right..\)
Đề thi thử THPT QG năm 2021 môn Toán
Trường THPT Liễn Sơn lần 3
Câu hỏi liên quan
-
Phương trình \({{2}^{{{x}^{2}}+x-3}}=8\) có hai nghiệm là \(a,b.\) Khi đó \(a+b\) bằng
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị như hình vẽ.
.jpg.png)
Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( \sqrt{4+2f\left( \cos x \right)} \right)=m\) có nghiệm \(x\in \left[ 0;\frac{\pi }{2} \right).\)
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bảng biến thiên ở hình vẽ. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng
.png)
-
Hàm số nào dưới đây nghịch biến trên tập xác định của nó?
-
Phương trình \(1-\cos 2x=0\) có tập nghiệm là
-
Giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y=\frac{2x+3}{x+1}\) trên đoạn \(\left[ 0;4 \right]\) là
-
Cho hình chóp tứ giác \(S.ABCD\) có đáy là hình vuông cạnh \(AB=a,SA\bot \left( ABCD \right)\) và \(SA=a.\) Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) bằng
-
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy,\) ảnh của điểm \(M\left( -6;1 \right)\) qua phép vị tự tâm \(O\) tỷ số \(k=2\) là
-
Hàm số \(f\left( x \right)={{\log }_{3}}\left( 2x+1 \right)\) có đạo hàm là
-
Cho tứ diện \(ABCD\) có \(AB=CD. \) Mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) qua trung điểm của \(AC\) và song song với \(AB,CD\) cắt \(ABCD\) theo thiết diện là:
-
Biết rằng phương trình \({{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}-2020x \right)=2021\) có 2 nghiệm \({{x}_{1}},{{x}_{2}}.\) Tính tổng \({{x}_{1}}+{{x}_{2}}.\)
-
Hàm số \(y={{x}^{3}}-2x,\) hệ thức liên hệ giữa giá trị cực đại \(\left( {{y}_{CD}} \right)\) và giá trị cực tiểu \(\left( {{y}_{CT}} \right)\) là:
-
Cho hình lăng trụ đứng \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(ABC\) vuông tại \(A,AB=a\sqrt{3},AC=AA'=a.\) Sin góc giữa đường thẳng \(AC'\) và mặt phẳng \(\left( BCC'B' \right)\) bằng
-
Cho hàm số \(y=\frac{x-\sqrt{{{x}^{2}}+2x}}{{{x}^{2}}+mx-m-3}\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Giá trị của \(m\) để \(\left( C \right)\) có đúng hai tiệm cận thuộc tập nào sau đây?
-
Cho tập hợp \(A\) có 26 phần tử. Hỏi \(A\) có bao nhiêu tập con gồm 6 phần tử?
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số \(y=f\left( x \right)\) có bao nhiêu cực trị?
.jpg.png)
-
Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của hàm số nào dưới đây?
.jpg.png)
-
Tìm giá trị của \(m\) để hàm số \(y={{x}^{3}}-{{x}^{2}}+mx-1\) có hai điểm cực trị.
-
Tập xác định của hàm số \(y=\sqrt{3-2x}+\sqrt{5-6x}\) là:
-
Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ. Hàm số \(y=f\left( x \right)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây ?
.jpg.png)
