Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A'B'C' có góc giữa hai mặt phẳng (A'BC) và (ABC) bằng \(60^o\); cạnh AB = a. Tính thể tích khối đa diện ABCC'B'

Tìm \(M \in \left( C \right):y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) sao cho khoảng cách từ điểm M đến tiệm cận đứng bằng hai lần khoảng các từ điểm M đến tiệm cận ngang.

Gọi I là giao điểm hai tiệm cận. viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị hàm số biết d cắt tiệm cận đứng và tiệm cận ngang lần lượt tại A và B thỏa \(\cos BAI = \frac{{5\sqrt {26} }}{{26}}\)

Cho hàm số \(y = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) đạt cực đại tại x = -2  với giá trị cực đại là 64; đạt cực tiểu tại x = 3 với giá trị cực tiểu là -61. Khi đó giá trị của a + b + c + d bằng

Trong mặt phẳng Oxy, cho prabol \(\left( P \right):y = {x^2}\). Viết phương trình đường thẳng d đi qua \(M\left( {1;3} \right)\) sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi (P) và d đạt giá trị nhỏ nhất.

Tìm số phức z có mô đun nhỏ nhất thỏa mãn \(\left| {iz - 3} \right| = \left| {z - 2 - i} \right|\)

Hai số phức z và \( - \frac{1}{{\overline z }}\) có điểm biểu diễn trong mặt phẳng phức là A, B. Khi đó

Cho số phức \(z = \frac{{ - 1 + \sqrt 3 i}}{2}\). Tính giá trị của biểu thức

 \(P = {\left( {z + \frac{1}{z}} \right)^{2016}} + {\left( {{z^2} + \frac{1}{{{z^2}}}} \right)^{2017}} + {\left( {{z^3} + \frac{1}{{{z^3}}}} \right)^{2018}} + {\left( {{z^4} + \frac{1}{{{z^4}}}} \right)^{2019}} - {2^{2018}}\)

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, cạnh đáy AB = 2a, góc \(ASB = 2\alpha \left( {{0^0} < \alpha < 90^\circ } \right)\). Gọi V là thể tích của khối chóp. Kết quả nào sau đây sai?

Tìm các họ nghiệm của phương trình \({\cos ^2}x + {\cos ^2}2x + {\cos ^2}3x + {\cos ^2}4x = 2\)

Tìm số giá trị nguyên của m để phương trình \(\log _3^2\sqrt {\log _3^2x + 1} - 2m - 1 = 0\) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {1;{3^{\sqrt 3 }}} \right]\)

Cho hàm số \(g\left( x \right) = \int\limits_x^{{x^2}} {\frac{{dt}}{{\ln t}}} \) với x > 1. Tìm tập giá trị T của hàm số

Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm \(A\left( {2;0;0} \right),B\left( {0;4;0} \right),C\left( {0;0;6} \right),D\left( {2;4;6} \right)\).
ét các mệnh đề sau:

(I). Tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right| = \left| {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right|\) là một mặt phẳng

(II). Tập hợp các điểm M sao cho \(\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right| = 4\) là một mặt cầu tâm \(I\left( {1;2;3} \right)\) và bán kính R = 1.

Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh bằng a, góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng \(30^o\). Biết hình chiếu vuông góc của A’ trên (ABC) trùng với trung điểm cạnh BC. Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'.ABC

Rút gọn biểu thức \(\frac{{\sqrt a .\sqrt[6]{a}}}{{\sqrt[3]{a}\sqrt[4]{a}}}\left( {a > 0} \right)\)

Tính giá trị gần đúng với 3 chữ số thập phân của \(\ln \left( {0,004} \right)\)

Cho \(x,y,z > 0\) thỏa mãn điều kiện \(\frac{{x\left( {y + z - x} \right)}}{{\log x}} = \frac{{y\left( {z + x - y} \right)}}{{\log y}} = \frac{{z\left( {x + y - z} \right)}}{{\log z}}\)

Hỏi mệnh đề nào sau đây là đúng?

Cho hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{x - 1}}\) có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm tại hai tiềm cận. Có bao nhiêu điểm M thuộc (C) biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai tiệm cận tại A, B tạo thành tam giác IAB có trung tuyến \(IN = \sqrt {10} \).

Giả sử \(\int\limits_{ - 1}^2 {\frac{{{e^x}dx}}{{2 + {e^x}}}} = \ln \frac{{ae + {e^3}}}{{ae + b}}\) với a, b là các số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức \(P = \sin \left( {\frac{{\pi b}}{a} + 2017\pi } \right) + \cos \left( {\frac{{\pi b}}{a} - \sin 2018\pi } \right)\)

Trong không gian Oxyz có 6 mặt phẳng sau

\(\left( {{\alpha _1}} \right):2x - y + z - 4 = 0\)

\(\left( {{\alpha _2}} \right):x + z - 3 = 0\)

\(\left( {{\beta _1}} \right):3x + y - 7 = 0\)

\(\left( {{\beta _2}} \right):2x + 3z - 5 = 0\)

\(\left( {{\gamma _1}} \right):x - my + 2z - 3 = 0\)

\(\left( {{\gamma _2}} \right):2x + y + z - 6 = 0\)

Gọi \({d_1},{d_2},{d_3}\) lần lượt là giao tuyến của các cặp mặt phẳng \(\left( {{\alpha _1}} \right)\) và \(\left( {{\alpha _2}} \right);\left( {{\beta _1}} \right)\) và \(\left( {{\beta _2}} \right);\left( {{\gamma _1}} \right)\) và \(\left( {{\gamma _2}} \right)\). Tìm m để \({d_1},{d_2},{d_3}\) đồng quy.

Tính giới hạn của hàm số \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt[3]{{x + 8}} - \sqrt {x + 4} }}{x}\)